ТФКП и траектории лагранжевой системы

[drzewo]

Пусть $f:D\to \mathbb{C}=\{z=x+iy\},\quad f=u(x,y)+iv(x,y)$ -- голоморфная в области $D\subset \mathbb{C}$ функция, $f'\ne 0$.

Доказать, что линии уровня функций $u,v$ являются траекториями лагранжевой системы

$$ L=\frac{1}{2}(\dot x^2+\dot y^2)-V,\quad V=-|f'(z)|^2$$

[Padawan]

Пусть точка движется по линии $v=\mathrm{const}$ со скоростью $\dot x=\sqrt{2}\frac{\partial u}{\partial x}, \dot y=\sqrt{2}\frac{\partial u}{\partial y}$. Это возможно, так как вектор $\nabla u$ касается линнии уровня $v=\mathrm{const}$ (линии уровня $u=\mathrm{const}$ и $v=\mathrm{const}$ пересекаются под прямым углом). Тогда, дифференцирую по $t$, получим

$$ \ddot x=\sqrt{2}\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}\dot x+\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}\dot y\right)=2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\frac{\partial u}{\partial x}+2\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr)^2\right) $$ $$ \ddot y=\sqrt{2}\left(\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}\dot x+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}\dot y\right)=2\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}\frac{\partial u}{\partial x}+2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr)^2\right) $$

А это и есть уравнения движения, так как $\Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr)^2=|f'(z)|^2$.

[drzewo]

Да, уж. Мало того, что я эту задачу решал через жопу, так я еще и не заметил, что она есть частный случай решенной мной тут ранее задачи.

Пусть $x=(x^1,\ldots, x^m)$ -- локальные координаты на римановом многообразии $M$ с римановой метрикой $g_{ij}$.
Введем систему дифференциальных уравнений

$$\dot x^i=f^i(t,x).\qquad (1)$$

Теорема. Все решения системы (1) являются решениями системы с лагранжианом

$$L(t,x,\dot x)=\frac{1}{2}|\dot x-f(t,x)|^2.$$

Действительно, каждое решение системы (1) является критической точкой функционала:

$$\int_{t_1}^{t_2}L(t,x,\dot x)dt.$$

Рассмотрим частный случай $M$ -- область в $\mathbb{R}^2,\quad g_{ij}=\delta_{ij}$.
Пусть теперь $U:M\to\mathbb{R}$ -- некоторая гладкая функция и

$$f^i=\frac{\partial U}{\partial x^i}.$$

Тогда

$$L=\frac{1}{2}\Big|\dot x-\frac{\partial U}{\partial x}\Big|^2=\frac{1}{2}|\dot x|^2+\frac{1}{2}\Big|\frac{\partial U}{\partial x}\Big|^2.$$

Здесь из лагранжиана выброшена полная производная

$$\Big(\dot x,\frac{\partial U}{\partial x}\Big).$$