Сумма скалярных произведений векторов

[BalyunovVV]

Пусть имеется 2 набора векторов $\mathbf{F_i}=(a_i,b_i)$, $\mathbf{G_k}=(c_k,d_k)$ нужно найти сумму всех скалярных произведений векторов из обоих наборов.
$\sum\limits_{i,k}(\mathbf{F_i},\mathbf{G_k})=\sum\limits_{i,k}\left|\mathbf{F_i}\right|\left|\mathbf{G_k}\right|\cos\theta=\sum\limits_{i,k}(a_i,c_k+b_i,d_k)=\sum\limits_i\left(a_i\sum\limits_k c_k + b_i \sum\limits_k d_k \right)=\sum\limits_i\left(\mathbf{F_i},\sum\limits_k \mathbf{G_k} \right)$
Видим что, благодаря дистрибутивному закону, мы можем перейти от суммы $ik$ сомножителей к сумме $i+k$ сомножителей.
Вопрос: можем ли мы устроить такое же упрощение вычислений для суммы произведений вида $\sum\limits_{i,k}\left|\mathbf{F_i}\right|\left|\mathbf{G_k}\right|\cos2\theta$. Напрашивается такой способ: переводим исходные вектора в тригонометрическую форму, делим угловой аргумент пополам перемножаем и суммируем по вышепоказанному способу. Однако для 3х мерных векторов способ не годится. У кого какие мысли?

[dgwuqtj]

Сначала сделаем подстановку $\cos 2 \theta_{ik} = 2 \cos^2 \theta_{ik} - 1$. Сумму с единицами посчитать легко по дистрибутивности, так что можно считать, что вместо косинусов двойных углов стоят квадраты косинусов. Теперь поменяем длины векторов, заменив их на квадратные корни, получатся новые векторы $F'_i$ и $G'_k$. Требуется посчитать $\sum_{ik} (F'_i \cdot G'_k)^2$. Каждый квадрат скалярного произведения в декартовых координатах раскрывается в сумму $6$ слагаемых, каждое из которых — это произведение квадратичных форм от $F'_i$ и $G'_k$. То есть сумма квадратов скалярных произведений — это сумма скалярных произведений неких новых векторов в шестимерном пространстве. Её, опять же, легко считать по дистрибутивности.

[B@R5uk]

Стоит ещё заменить, что в первой формуле двойная сумма многих скалярных произведений равна одному скалярному произведению двух сумм, каждая из которых берётся по своему множеству. В цепочке равенств не хватает последнего шага, которым сумма по i вносится под скалярное произведение.

[BalyunovVV]

dgwuqtj в сообщении #1689162 писал(а):

Сначала сделаем подстановку $\cos 2 \theta_{ik} = 2 \cos^2 \theta_{ik} - 1$. Сумму с единицами посчитать легко по дистрибутивности, так что можно считать, что вместо косинусов двойных углов стоят квадраты косинусов. Теперь поменяем длины векторов, заменив их на квадратные корни, получатся новые векторы $F'_i$ и $G'_k$. Требуется посчитать $\sum_{ik} (F'_i \cdot G'_k)^2$. Каждый квадрат скалярного произведения в декартовых координатах раскрывается в сумму $6$ слагаемых, каждое из которых — это произведение квадратичных форм от $F'_i$ и $G'_k$. То есть сумма квадратов скалярных произведений — это сумма скалярных произведений неких новых векторов в шестимерном пространстве. Её, опять же, легко считать по дистрибутивности.

Класс! если учесть что в исходной формуле было $\sum\limits_{i,k}\left|\mathbf{F_i}\right|\left|\mathbf{G_k}\right|(\sin^2\theta-\cos^2\theta)$, уж очень не нравился синус, видимо показалось что с двойным углом проще будет, ладно буду пытаться в многомерных пространствах считать. Спасибо!