Гантель на направляющей

[drzewo]

Пришла в голову такая конструкция, может тривиальная.

В поле силы тяжести расположена неподвижная относительно ИСО гладкая (во всех смыслах) пространственная кривая $\mathscr{L}$.
По кривой может скользить гантель, которая состоит из невесомого стержня длины $2\ell$ и двух одинаковых точечных масс. Гантель соединена с кривой $\mathscr{L}$ идеальной муфтой $S$, расположенной в середине гантели. Муфта $S$ свободно скользит по кривой и позволяет стержню поворачиваться вокруг кривой так, что угол между ним и кривой остается все время прямым.
В начальный момент времени гантель покоится, потом ее отпускают и она скользит под действием силы тяжести. Может ли гантель (при какой-то форме кривой) начать вращаться вокруг кривой (тут нужно еще формальное определение)?
Это вопрос для "олимпиадной " задачи.
Я формул не писал (пока), и a priori не исключаю, что динамика этой гантели может оказаться интересной сама по себе. Поэтому задача помещена в дискуссионные темы.

[EUgeneUS]

Подумалось, что динамика гантельки не должна отличаться от динамики колеса с тяжелым ободом и легкими спицами.
Звучит контринтуитивно, но в лагранжиане нет ничего, чтобы отличало уравновешенную, симметричную гантельку от колеса. Насколько понимаю.

[drzewo]

Через $\varphi$ обозначим угол от вектора главной нормали кривой
до стержня; через $s$ обозначим натуральный параметр на
кривой, который характеризует положение точки $S$ .
$k(s)>0,\varkappa(s)$-- кривизна и кручение кривой.
Кинетическая энергия (она же лагранжиан в обобщенных
координатах $s,\varphi$ -- если сила тяжести отсутствует ):

$$T=m\dot s^2+m\ell^2\big(\dot s^2k^2\cos^2\varphi+(\dot\varphi-\dot s\varkappa)^2\big).$$

Сами судите об уровне сложности этой задачи, даже в случае плоской кривой $\varkappa=0$.

[EUgeneUS]

drzewo
Отметим, что у Вас тоже гантелька от колеса не отличается.

Возможно, ниже я в очередной раз крупно облажался. Но тогда прошу указать на ошибку.

В ИСО:

$$L = mv^2 + m l^2 \omega^2 - mgz$$

$$\mathbf{\omega} = \omega_\parallel \mathbf{t} + \omega_\perp \mathbf{b}$$

где, $\mathbf{t}$ - единичный вектор касательной; $\mathbf{b}$ - единичный вектор бинормали.

$$\omega_\perp= vk$$

где $k$ - кривизна.
Введем натуральную параметризацию кривой, и подставим всё в лагранжиан (массу сократим, для краткости):

$$L = (\dot{s})^2 (1+ l^2 (k(s))^2) + l^2 \omega_\parallel^2 - g z(s)$$

Откуда сразу $\omega_\parallel = \operatorname{const}$

Вы вот с этого момента:

drzewo в сообщении #1688128 писал(а):

Через $\varphi$ обозначим угол от вектора главной нормали кривой
до стержня;

Решаете задачу в трехграннике Френе, так он сам может вращаться.

[drzewo]

https://storage4u.ru/file/2025/05/30/4111c639cf0081977bc34a8a8894948a.pdf

-- 30.05.2025, 11:36 --

EUgeneUS в сообщении #1688137 писал(а):

Решаете задачу в трехграннике Френе, так он сам может вращаться.

Обижаешь, начальник(c)

[drzewo]

EUgeneUS мы опять говорим на разных языках.
amon загляните сюда, пожалуйста. Я думаю Вы с EUgeneUS друг друга поймете раньше. Я к такому формализму не приучен.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1688021 писал(а):

Может ли гантель (при какой-то форме кривой) начать вращаться вокруг кривой (тут нужно еще формальное определение)?

Гантель движется по окружности в плоскости. Ударом переведём её скорость цм в равную по модулю и направленную перпендикулярно плоскости. При этом гантель должна мгновенно повернуться вокруг оси с нулевым моментом инерции. Теперь гантель летит по прямой, вращаясь вокруг этой прямой. Всё.

[Geen]

Меня гложет ощущение, что эту (подобную) задачу уже разбирали...

[wrest]

EUgeneUS в сообщении #1688119 писал(а):

Подумалось, что динамика гантельки не должна отличаться от динамики колеса с тяжелым ободом и легкими спицами.

Вот мы насадили идеальное массивное колесо (на палку, подшипник идеальный. Теперь можем двигать палку как хочется (в рамках приличия, без бесконечностей). Можно ли сделать так, что после остановки движения палки колесо останется вращающимся?

Кажется невероятным.

[drzewo]

Geen в сообщении #1688169 писал(а):

Меня гложет ощущение, что эту (подобную) задачу уже разбирали...

Это возможно. Частный случай данной задачи, когда кривая плоская и гантель лежит все время в плоскости кривой, известен. Но там, сами понимаете, одна степень свободы и говорить не о чем.

[EUgeneUS]

drzewo
Я вижу только одно тонкое место в моём решении, где могла собака порыться.
А именно: является ли $\omega_\parallel$ производной по времени какой-либо обобщенной переменной?
Если нет, то подстановка в лагранжиан не валидна.
Если да, то должна быть замена переменных, которая сведет моё решение к Вашему и наоборот.

Вот и посмотрим на это подробнее. Воспользуемся Вашим результатом, вот этим:

$$\mathbf{\omega} = \mathbf{e_\zeta} (\dot{\varphi} - \dot{s}\kappa) + \dot{s} k \mathbf{b}$$

Учитывая, что $\mathbf{e_\zeta} \equiv \mathbf{\tau}$, и то, что написано у меня выше:

$$\omega_\parallel = \dot{\varphi} - \dot{s}\kappa$$

Пусть $K = \int\limits_{}^{} \kappa d s$, введем переменную: $\psi = \varphi - K$, тогда

$$\dot{\psi} = \dot{\varphi} - \dot{s}\kappa = \omega_\parallel$$

Нет?

-- 30.05.2025, 17:02 --

wrest в сообщении #1688172 писал(а):

Вот мы насадили идеальное .... Кажется невероятным.

Не понял вашей реплики, в контексте цитаты, на которую Вы отвечали.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1688137 писал(а):

ИСО:

$$L = mv^2 + m l^2 \omega^2 - mgz$$

Напишите пожалуйста в общем векторном виде теорему по которой Вы считаете кинетическую энергию

[EUgeneUS]

drzewo
Спасибо, вроде бы, разобрался.

В векторном виде всё тоже самое.
А вот в компонентах так записывать нельзя.

[realeugene]

wrest в сообщении #1688172 писал(а):

Вот мы насадили идеальное массивное колесо (на палку, подшипник идеальный. Теперь можем двигать палку как хочется (в рамках приличия, без бесконечностей). Можно ли сделать так, что после остановки движения палки колесо останется вращающимся?

Если насадить колесо на палку и махнуть палкой по кругу, то колесо слетит с палки, кувыркаясь, только вокруг не той оси. Осталось повернуть ось. Что для гантельки сделать ещё проще.

[drzewo]

EUgeneUS
Тут все таки есть простой интересный случай. Пусть сила тяжести равна нулю. Предположим, что кривизна и кручение -- константы. Т.е. кривая является винтовой линией. Тогда в задаче сохраняется обобщенный импульс:

$$\frac{\partial T}{\partial \dot s}=\mathrm{const}.$$

Это дает возможность выполнить полное качественное исследование движения.