2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Потенциальные ямы
Сообщение26.05.2025, 22:07 
Рассмотрим движение частицы вдоль прямой $x$ под действием силы с потенциалом $V=V(x)$:
$$\ddot x=-V'(x).$$
Функция $V$ является многочленом 4 степени и имеет два минимума.
Предположим, что на уровне энергии $h,$
$$\frac{1}{2}\dot x^2+V(x)=h$$ система может совершать периодические движения в любой из двух потенциальных ям. Доказать, что эти движения имеют один и тот же период.

 
 
 
 Re: Потенциальные ямы
Сообщение27.05.2025, 14:38 
Аватара пользователя
Задача сводится к доказательству:

$$\int\limits_{x_1}^{x_2} \frac{d x}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}} = \int\limits_{x_3}^{x_4} \frac{d x}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}}$$

для любых $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$

Факт забавный.
Пробовал подобрать замену переменных, чтобы свети одно к другому. Не получилось :roll:
Можно ещё условие наложить $x_1 + x_2 +x_3 +x_4 =0$, если чему-то поможет.

 
 
 
 Re: Потенциальные ямы
Сообщение27.05.2025, 14:51 
EUgeneUS в сообщении #1687743 писал(а):
Задача сводится к доказательству:

$$\int\limits_{x_1}^{x_2} \frac{d x}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}} = \int\limits_{x_3}^{x_4} \frac{d x}{\sqrt{-(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}}$$

для любых $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$

Да, именно об этом и речь, и завершение рассуждений почти устное:)

 
 
 
 Re: Потенциальные ямы
Сообщение27.05.2025, 15:50 
I. Если $x_1+x_4=x_2+x_3$, то замена $y=x_1+x_4-x$.
II. Если $x_1x_4=x_2x_3$, то замена $y=\frac{x_1x_4}{x}$.
Иначе находим такое $a$, что $(x_1+a)(x_4+a)=(x_2+a)(x_3+a)$ и замена $y=x+a$ приводит к II.

 
 
 
 Re: Потенциальные ямы
Сообщение27.05.2025, 19:23 
Я выкладки не проверял. Но забавно, если так тоже можно.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group