Точки и линии на плоскости

[THC]

Множество S состоит из $n>2$ точек на плоскости. Множество P состоит из $m$ прямых линий на плоскости таких, что каждая линия из P является осью симметрии для S. Доказать, что $m\leqslant n$ и определить, когда имеет место равенство

[ИСН]

Наличие $m$ таких прямых подразумевает вполне конкретную группу симметрии, чей порядок и тип специальных позиций означают, что...

[Профессор Снэйп]

У меня гипотеза, что $m=n$ возможно лишь тогда, когда $S$ является множеством вершин правильного $n$-угольника

[Sonic86]

Линия, я так понял, - прямая (иначе - не ось симметрии).
Далее, я так понял, мы ищем $P: m = |P| = \max$. То есть у нас есть какое-то P, то любая часть P тоже есть множество типа P.
Далее, можно всегда взять правильный многоугольник и множество осей его симметрии. Тогда будет $m_{max} \geqslant n$.
Ну, если исходное $m \leqslant n$ верно, то останется доказать, что другой оси нет.
То есть нет такого P, что $|P|=n+1$.
Думаю.
Пусть $|P|=n+1$. Тогда есть $l_{1},...,l_{n+1} \in P$ - n+1 прямых. Тогда есть 2 прямые, симметрии относительно которых одновременно переводят некую точку А в некую другую точку В.
(От противного. Пусть они переводят все точки в разные. Но симметрий n+1, а точек n. Не хватает.)
Ясно, что если некая точка А и некая другая точка В различны, то симметрии совпадают, а значит - совпадают прямые, в то время как они различны.
Значит А=В.
Таким образом, через некую точку А проходит минимум пара осей симметрии $l_{1}, l_{2}$.
Каждая из симметрий переводит множество точек в себя. Их композиция - поворот.
Тогда угол $\varphi$ поворота есть угол вида $\frac{2 \pi k}{n}$, в противном случае точек окажется больше n.
! Каждая прямая из P проходит через А. В противном случае, взяв композицию двух других симметрий мы бы получили другой поворот.
А имея в своем распоряжении 2 поворота и 3 точки, можно одну из них увести сколь угодно далеко от исходного скопления точек.
Но при этом эта точка должна оставаться в исходном множестве. Противоречие.
Далее, так как все прямые проходят через А, то все углы между ними должны быть вида $\frac{2 \pi k}{n}$.
Иначе мы бы получили, что число точек в исходном множестве должно было бы быть в несколько раз больше исходного (в крайенм случае - бесконечное)
Наконец, мы получили, что есть n+1 прямая, проходящие через А, углы между которыми равны $\frac{2 \pi k}{n}$.
Значит, какие-то две прямые должны быть одинаковыми. Противоречие. Все.
Таким образом $m = n$, а значит $m \leqslant n$ верно (автор лукавил?)
Кривое немного доказательство.
Проще можно было?

[TOTAL]

Sonic86 писал(а):

Кривое немного доказательство.
Проще можно было?

Мне кажется, проще заметить, что самая левая точка может быть симметрична каждой из остальных точек и самой себе, т.е. не более $n$ раз.

[Профессор Снэйп]

TOTAL писал(а):

Мне кажется, проще заметить, что самая левая точка может быть симметрична каждой из остальных точек и самой себе, т.е. не более $n$ раз.

Да! Это очень простое и изящное решение первой части задачи (доказательства того, что $m \leqslant n$).

Хотя, конечно, высказывание про "самую левую точку" нуждаются в уточнении. Как там её существование доказывается при выборе подходящего направления "слева направо"? Выпуклая оболочка, теорема Хана-Банаха?..

[THC]

Эта задача из Китайской женской олимпиады 2007г. И я не автор .
А моё решение таково:
Всегда можно построить такой выпуклый $k$-угольник так, чтобы все $k$ его вершины явл. какими-нибудь точками из множества S. Остальные $(n-k)$ точки либо находятся на сторонах либо внутри этого $k$-угольника.
Каждая прямая, если она ось симметрии, должна либо проходить через середину одной из сторон и перпендикулярна ей, либо проходить через вершину и явл. биссектрисой угла у данной вершины. Иначе какая-нибудь вершина "вылетит" за предел $k$-угольника если возьмем её точку симметрии относительно прямой.
Однако, каждая прямая - ось симметрии - пересекает периметр $k$-угольника дважды. Поэтому количество осей симметрии не превысит $k$.
Равенство $k=n$ возможно только лишь тогда, когда ни одна из заданных $n$ точек не лежит на стороне или внутри $k$-угольника и сам $k$-угольник - правильный.