Задача

[Shamsullo]

правильно ли это задача? посмотрите пожалуйста:
Найти целый часть от следующего число

$$ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-2}+\sqrt{n^2-1}}, $$

где $n$ нечетное число.

[mihaild]

За исключением падежей (надо: "найти целую чаcть от следующего числа") - с формулировкой всё в порядке. Что Вы пробовали?

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в подходящий раздел.

[Shamsullo]

При каких n получается первое и второе слагаемое?

[svv]

Ни при каких.
При $n=1$ в сумме не будет ни одного слагаемого.
А при $n=3$ будет сразу четыре слагаемых:
$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}$

[angor6]

Shamsullo
Из какого источника Вы взяли эту задачу?

[Евгений Машеров]

Члены суммы выглядят похожими на члены гармонического ряда (при этом члены ряда $\frac 1 {2n}$ их мажорируют). То есть сумма расходится и, по всей видимости, растёт как $\ln n$.
Прикидочный расчёт показывает, что значение 2 достигается при $n=157$, 3 - при $n=8607$, 4 при $n=469947$
Что с большой точностью ложится на линию $K=0.736590966+0.249871002\ln n$
Но как от эмпирического уравнения перейти к доказательству - не вем.

[Neos]

Для начала избавляемся от иррациональностей в знаменателе, умножая числитель и знаменатель
на $\sqrt{k+1}-\sqrt{k}$. Дробей нет. Сумма приобретает вид

$$S = \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots +\sqrt{n^2-1}-\sqrt{n^2-2},\quad n>2$$

[Padawan]

Neos в сообщении #1687625 писал(а):

При каких n получается первое и второе слагаемое?

Видимо, в задаче имеется ввиду сумма $\sum\limits_{k=1}^{(n^2-1)/2}\dfrac{1}{\sqrt {2k-1}+\sqrt{2k}}$.

-- Пн май 26, 2025 19:02:18 --

Евгений Машеров в сообщении #1687594 писал(а):

Члены суммы выглядят похожими на члены гармонического ряда (при этом члены ряда $\frac 1 {2n}$ их мажорируют).

Не, там другая сумма (выше написал).

[Padawan]

Получил асимптотику при помощи формулы Эйлера-Маклорена:

$$ \sum\limits_{k=1}^{(n^2-1)/2}\dfrac{1}{\sqrt {2k-1}+\sqrt{2k}}=\frac{1}{2}n+C-\frac{1}{8}\frac{1}{n}+\frac{1}{128}\frac{1}{n^5}+O\left(\frac{1}{n^7}\right), $$

где $C=-0.3801048126...$
Следовательно, целая часть этой суммы равна $\frac{n-1}{2}$ (при нечётном $n$).

-- Пн май 26, 2025 21:15:01 --

Shamsullo
Попробуйте представить искомую сумму в виде интегральной суммы Римана от некоторой функции.

[Евгений Машеров]

Padawan в сообщении #1687638 писал(а):

Следовательно, целая часть этой суммы равна $\frac{n-1}{2}$ (при нечётном $n$).

Не бьёт с расчётом.

Евгений Машеров в сообщении #1687594 писал(а):

2 при $n=157$, 3 - при $n=8607$, 4 при $n=469947$

-- 27 май 2025, 06:19 --

Padawan в сообщении #1687630 писал(а):

Видимо, в задаче имеется ввиду сумма $\sum\limits_{k=1}^{(n^2-1)/2}\dfrac{1}{\sqrt {2k-1}+\sqrt{2k}}$.

В задаче, как она указана в первом сообщении, в выражении под корнем квадраты. В Вашем варианте слагаемые существенно больше, отчего и расхождение.

-- 27 май 2025, 06:20 --

Shamsullo в сообщении #1687363 писал(а):

Найти целый часть от следующего число

$$ \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-2}+\sqrt{n^2-1}}, $$

[Padawan]

Евгений Машеров
Обратите внимание на сообщение

Shamsullo в сообщении #1687366 писал(а):

При каких n получается первое и второе слагаемое?

и ответ уважаемого svv

svv в сообщении #1687433 писал(а):

Ни при каких.
При $n=1$ в сумме не будет ни одного слагаемого.
А при $n=3$ будет сразу четыре слагаемых:
$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{8}}$

[Евгений Машеров]

Тогда это противоречит выражению для общего члена, где квадраты.
В общем, желательно, чтобы ТС уточнил постановку.
А также хотелось бы "прагматики" - это учебная задача, прикладная, проект олимпиадной или вообще "игра ума". Если учебная - то ординарная или "со звёздочкой" (или вообще для затыкания нагло-активного студента, наподобие построения циркулем и линейкой 65537-угольника), если прикладная - какая точность ответа требуется и в каких пределах может быть n.

[nnosipov]

При $n=25$ это задача предлагалась на нашей олимпиаде школьников «Бельчонок» 2021-2022 уч. год, заключительный этап, 11 класс, вариант 1, задача 5. Пусть

$$S_1=\sum_{k=1}^{(n^2-1)/2}\frac{1}{\sqrt{2k-1}+\sqrt{2k}}, \quad S_2=\sum_{k=1}^{(n^2-1)/2}\frac{1}{\sqrt{2k}+\sqrt{2k+1}}.$$

Тогда $S_2<S_1$ и $S_1+S_2=n-1$. Отсюда $S_1>(n-1)/2$. С другой стороны,

$$S_1<\sum_{k=1}^{(n^2-1)/2}\frac{1}{2\sqrt{2k-1}}<\frac{1}{2}+\int\limits_1^{(n^2-1)/2}\frac{dx}{2\sqrt{2x-1}}= \frac{\sqrt{n^2-2}}{2},$$

откуда $S_1<(n+1)/2$. При желании можно обойтись без интегралов (см. оригинальное решение).

[mihaild]

Padawan в сообщении #1687630 писал(а):

сумма $\sum\limits_{k=1}^{(n^2-1)/2}\dfrac{1}{\sqrt {2k-1}+\sqrt{2k}}$.

Нецелый верхний предел при четных $n$.

UPD: я читать не умею, сумма правда, скорее всего, такая.