Теорема Колмогорова о трех рядах

[ihq.pl]

Теорема о трех рядах: Пусть $\xi_1,\xi_2,...$ - последовательность независимых случайных величин. Для сходимости с вероятностью единица ряда $\sum\xi_n$ достаточно, чтобы ряды $\sum\mathsf{D}\xi_nI(|\xi_n|\leqslant c), \sum\mathsf{E}\xi_nI(|\xi_n|\leqslant c), \sum\mathsf{P}(|\xi_n|> c)$ сходились при некотором $c>0$.

Доказательство. Пусть $\xi_n^c = \xi_nI(|\xi_n|\leqslant c)$. По теореме о двух рядах ряд $\sum\xi_n^c$ сходится с вероятностью единица. Но если $\sum\mathsf{P}(|\xi_n|> c)<\infty$, то по лемме Бореля-Кантелли с вероятностью единица $\xi_n=\xi_n^c$ для всех $n$, за исключением, быть может, конечного числа. Поэтому ряд $\sum\xi_n$ также сходится почти наверное.

Пусть $\xi_1(\omega) = \infty$ для всех $\omega$ и ряды $\sum\mathsf{E}\xi_n^c, \sum\mathsf{D}\xi_n^c, \sum\mathsf{P}(|\xi_n|> c)$ сходятся. Пусть все $\xi_n\geqslant 0$. Тогда $\sum\xi_n = \infty$ для всех $\omega\in\Omega$.

Где ошибка?

[mihaild]

ihq.pl в сообщении #1687118 писал(а):

Пусть $\xi_1(\omega) = \infty$

Тогда это не случайная величина.

[ihq.pl]

mihaild
Ну есть же вырожденные случайные величины, которые с вероятностью единица принимают лишь одно значение.
Или пусть $\xi_1=\infty$ на множестве $A$ ненулевой меры. Тогда $\sum\xi_n = \infty$ на $A$.

[mihaild]

Которые принимают одно значение - есть, которые бывают равны бесконечности - нет. Случайная величина - это функция в вещественные числа.

[ihq.pl]

mihaild, это связано с тем, что на расширенной прямой нельзя задать вероятностную меру?

[mihaild]

Можно. Просто определение такое. Мотивированное желанием иметь векторное пространство из случайных величин.
Функции в $\overline{\mathbb R}$ называются расширенными случайными величинами.