Симметрично распределенные случайные величины

[ihq.pl]

Задача. Пусть $\xi_1,\xi_2,...$ - независимые симметрично распределенные случайные величины. Показать, что

$$\mathsf{E}\Bigl[\Bigl(\sum\xi_n\Bigr)^2\wedge 1\Bigr] \leqslant \sum\mathsf{E}(\xi_n^2 \wedge 1).$$

Попытка решения. Пусть $S = \sum\xi_n$. Тогда

$$\mathsf{E}[S^2\wedge 1] = \mathsf{E}[S^2 I(S^2<1)] + \mathsf{E}[I(S^2\geqslant 1)],$$

где

$$\mathsf{E}[S^2 I(S^2<1)] = \sum\mathsf{E}\xi_n^2I(S^2<1) + \sum_{i\ne j}\mathsf{E}[\xi_i\xi_jI(S^2<1)].\eqno{(1)}$$

Кажется, что второй член справа в $(1)$ равен нулю, но я не могу это доказать. Попробовал представить так

$$\mathsf{E}\xi_i\xi_j I(S^2<1) = \int\limits_{S^2<1}x_1x_2dF_1(x_1)dF_2(x_2)dF_3(x_3)...\eqno{(2)}$$

или

$$\mathsf{E}\xi_i\xi_j I(S^2<1) = \int\limits_{R^2}x_1x_2\Bigl(\int\limits_{A(x_1,x_2)}dF_3(x_3)...\Bigr)dF_1(x_1)dF_2(x_2),\eqno{(3)}$$

где

$$A(x_1,x_2) = \{(x_3,...):-1-(x_1+x_2)<\sum\limits_{n\geqslant 3}x_n < 1-(x_1+x_2)\}.$$

Получается, что

$$\mathsf{E}\xi_i\xi_j I(S^2<1) = \int\limits_{R^2}x_1x_2\mathsf{P}(A(x_1,x_2))dF_1(x_1)dF_2(x_2),$$

но что такое $\mathsf{P}(A(x_1,x_2))$ - не понимаю. Было бы неплохо, если бы $\mathsf{P}(A(x_1,x_2))$ была симметрична по переменным $x_1,x_2$, но откуда это следует, не вижу.

Но, может, всё проще и все эти рассуждения не нужны?

[Null]

Скорее всего $\mathsf{E}\xi_i\xi_j I(S^2<1)\neq 0$ в общем случае. Но вам достаточно доказать для 2ух случайных величин, а дальше по индукции.

[ihq.pl]

Null
Спасибо. По индукции вроде должно получиться, т.к. распределение конечной суммы симметрично. Буду думать что сделать c $\mathsf{E}\xi_1\xi_2 I(|\xi_1+\xi_2|<1)$

[ihq.pl]

Null в сообщении #1687011 писал(а):

Скорее всего $\mathsf{E}\xi_i\xi_j I(S^2<1)\neq 0$ в общем случае.

У меня получилось $\mathsf{E}\xi_1\xi_2 I(|\xi_1+\xi_2|<1)\leqslant 0$. Либо я где-то ошибся, либо это надо в "Что меня поразило в математике".