Нахождение сфер. ф-й Бесселя через мат индукциию

[PhysicsEnjoyer]

Рассмотрим уравнение
$u''_l(x) -\frac{l(l+1)}{x^2} u_l(x) + u_l(x) = 0$
Если $l = 0$ то уравнение имеет вид
$u''_0(x) + u_0(x) = 0$
Очевидно что
$u_0(x) = \sin x$
$u_0(x) = \cos x$
В случае $l \geqslant 0$ решением уравнений будут функции:
$u_l = (-x)^l(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^l \sin x$
$u_l = (-x)^l(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^l \cos x$
Этот результат может быть доказан с помошью метода математической индукции.

Мне стало интересно, а как ?

[svv]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1685823 писал(а):

Мне стало интересно, а как ?

Запишем в явном виде предлагаемые решения для $l=1$.
$\begin{bmatrix}(-x)\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right) \sin x\\[1ex] (-x)\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right) \cos x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{d}{dx} \sin x\\[1ex] -\frac{d}{dx} \cos x\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\cos x\\[1ex]\phantom{+}\sin x \end{bmatrix}$
Минус при косинусе, конечно, можно убрать в силу линейности. Выходит, что при $l=1$ уравнение имеет те же решения, что и при $l=0$.

Если отсюда ещё непонятно, как доказать требуемое, загляните в подсказку, но сначала минутку подумайте.

(Оффтоп)

Никак. Ведь ненулевая $u(x)$ не может удовлетворять одновременно уравнениям
$u'' + u -\frac{1(1+1)}{x^2} u = 0$
$u'' + u = 0$

[PhysicsEnjoyer]

svv
При переформулировке своего вопроса я допустил большую ошибку
Изначально в источнике писалось сразу решение для функций видa
$R_l(x) = \frac{u_l(x)}{x}$
И было
$R_l(x) = (-x)^l(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^l \frac{\sin x}{x}$
$R_l(x) = (-x)^l(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^l \frac{\cos x}{x}$
Ну я как ни в чем не бывало перемножил обе части равенства справа на $x$, сократив с иксом в знаменателе дабы найти $u_l(x)$
Конечно же так нельзя т.к. слева стоит оператор $(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^l$
Тогда правильные решения:
$u_l(x) = (-x)^{l+1}(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^l \frac{\sin x}{x}$
$u_l(x) = (-x)^{l+1}(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^l \frac{\cos x}{x}$
Ну и вопрос остается, я не совсем понимаю в чем вообще концепция нахождение решения уравнения по индукции. Если у меня есть общий вид уравнения в зависимости от параметра $l$ и предполагаемый вид решения в зависимости от этого параметра, то вроде подставил и все..
(а я как ни в чем не бывало жду ответов с абсолютно неверным условием )

[lel0lel]

Концепция таже, как при любых доказательствах по индукции. Найдена база индукции, остаётся показать, что если $u_l$ решение, то $u_{l+1}$, определяемое рекуррентно, тоже решение. Выразите это $u_{l+1}$ через $u_l$ по предполагаемой рекуррентной формуле, затем подставьте в диффур для $l+1$ и покажите, что получается верное тождество.

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel
$u_l(x) = (-x)^{l+1}(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^l \frac{\sin x}{x}$
$u_{l+1}(x) = (-x)^{l+2}(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^{l+1} \frac{\sin x}{x}$
$u_{l+1}(x) = (-x)^{l+2} (\frac{1}{x}\frac{d}{dx}) (\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^{l} \frac{\sin x}{x} = (-x)^{l+2} (\frac{1}{x}\frac{d}{dx}) \frac{u_l(x)}{(-x)^{l+1}} $

$ \frac{d}{dx} \frac{u_l(x)}{(-x)^{l+1}} = \frac{u'_l(x)(-x)^{l+1} +(l+1) u_l(x) (-x)^l}{(-x)^{2(l+1)}}$

$ (-x)^{l+2}\frac{d}{dx} \frac{u_l(x)}{(-x)^{l+1}} = \frac{u'_l(x)(-x)^{2l+3} +(l+1) u_l(x) (-x)^{2l+2}}{(-x)^{2(l+2)}} = -u'_l(x)\frac{1}{x} + (l+1)u_l(x)\frac{1}{x^2}$
$(-x)^{l+2} (\frac{1}{x}\frac{d}{dx}) \frac{u_l(x)}{(-x)^{l+1}} = -u'_l(x)\frac{1}{x^2} + (l+1)u_l(x)\frac{1}{x^3} $

Итак $u_{l+1}= -u'_l(x)\frac{1}{x^2} + (l+1)u_l(x)\frac{1}{x^3} $
И я должен буду это подставить в уравнение
$u''_{l+1}(x) -\frac{(l+1)(l+2)}{x^2} u_{l+1}(x) + u_{l+1}(x) = 0$
Я завтра еще пересмотрю так ли я нашел рекуррентную формулу и подставлю в уравнение, но кстати обычно сначала находят рекуррентную формулу, а потом уже явный от $l$, а не наоборот.

[lel0lel]

PhysicsEnjoyer в сообщении #1685953 писал(а):

Какая-то несуразная затея

Я выкладки не проверял, если у вас не получится, то постараюсь написать. А пока такое замечание: зачем же вы оставляете вторые и более старшие производные $u_l$, если они выражаются из диффура для $u_l$. У вас все выражения должны быть записаны только с $u_l$ и первой производной.

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel

lel0lel в сообщении #1685955 писал(а):

если у вас не получится, то постараюсь написать

Пока нет необходимости, нашел ошибку. Как нашел то те расчеты удалил, но Вы оказались быстрее)
Напишу скоро что получилось и учту замечание

lel0lel в сообщении #1685955 писал(а):

У вас все выражения должны быть записаны только с $u_l$ и первой производной.

Да, я так и планировал но в конце. Просто видел что уже не так что-то
Правильное значение $u_{l+1}(x)$
$ \frac{d}{dx} \frac{u_l(x)}{(-x)^{l+1}} = \frac{u'_l(x)(-x)^{l+1} +(l+1) u_l(x) (-x)^l}{(-x)^{2(l+1)}}$
$ (-x)^{l+2} \frac{1}{x} (\frac{u'_l(x)(-x)^{l+1} +(l+1) u_l(x) (-x)^l}{(-x)^{2(l+1)}}) = \frac{1}{x} \frac{u'_l(x)(-x)^{l+1} +(l+1) u_l(x) (-x)^l}{(-x)^{l}} $ $ = (l+1)u_l(x) \frac{1}{x}- u'_l(x)$

[PhysicsEnjoyer]

$u_{l+1}(x) = (l+1)u_l(x) \frac{1}{x}- u'_l(x)$

$u'_{l+1}(x) = (l+1)u'_l(x) \frac{1}{x} - (l+1)u_l(x) \frac{1}{x^2}- u''_l(x)$

$u''_l(x) =\frac{l(l+1)}{x^2} u_l(x) - u_l(x) $
Да, вижу. Лучше уже сейчас подставлять значение второй производной

$u'_{l+1}(x) = (l+1)u'_l(x) \frac{1}{x} - (l+1)u_l(x) \frac{1}{x^2}- \frac{l(l+1)}{x^2} u_l(x)+ u_l(x)$ $ = (l+1)u'_l(x) \frac{1}{x} - (l+1)^2 u_l(x) \frac{1}{x^2}+u_l(x)$
$u''_{l+1} = (l+1)u''_l(x) \frac{1}{x} - (l+1)u'_l(x) \frac{1}{x^2} - (l+1)^2 u'_l(x) \frac{1}{x^2} + 2 (l+1)^2 u_l(x) \frac{1}{x^3} +u'_l(x) $
$u''_{l+1} = (l+1)\frac{1}{x}\frac{l(l+1)}{x^2} u_l(x) - (l+1)\frac{1}{x}u_l(x) - (l+1)u'_l(x) \frac{1}{x^2} - (l+1)^2 u'_l(x) \frac{1}{x^2} $ $+ 2 (l+1)^2 u_l(x) \frac{1}{x^3} +u'_l(x)$
$u''_{l+1} = (l+1)^2(l+2) u_l(x)\frac{1}{x^3} - (l+1)\frac{1}{x}u_l(x) - (l+1)(l+2)u'_l(x) \frac{1}{x^2} +u'_l(x)$

Нужно что бы это дело удовлетворяло уравнению
$u''_{l+1}(x) = (l+1)(l+2)u_{l+1}(x)\frac{1}{x^2} - u_{l+1}(x) $
Подставляем рекуррентную формулу
$u''_{l+1}(x) = (l+1)(l+2)\frac{1}{x^2}(l+1)u_l(x) \frac{1}{x}- (l+1)(l+2)\frac{1}{x^2}u'_l(x) - $$(l+1)u_l(x) \frac{1}{x} + u'_l(x)$
$u''_{l+1}(x) = (l+1)^2(l+2)u_l(x) \frac{1}{x^3}- (l+1)(l+2)\frac{1}{x^2}u'_l(x) - $$(l+1)u_l(x) \frac{1}{x} + u'_l(x)$
Чудно. Значит мы доказали

Как я понимаю, в идеале алгоритм должен был быть следующим
1) найти базу индукции для $l = 0$ (ок)
2) Каким то чудом решить уравнение $l = 1$ (как сразу не соображу)
3) Увидеть что есть закономерность. Предположить что она имеет вид $u_{l+1}(x) = (l+1)u_l(x) \frac{1}{x}- u'_l(x)$
4) Доказать по индукции что эта рекуррентная формула решение, т.е. то что проделано выше
5) Найти по рекуррентной формуле явный вид для любого $l$
$u_l = (-x)^l(\frac{1}{x}\frac{d}{dx})^l \sin x$
Тут непонятно как. Опять индукция напрашивается

[lel0lel]

Можно несколько элегантнее привести доказательство, если исключить в том числе и первую производную в рекуррентной формуле.

Но Вам вроде нужна была только концепция доказательства по индукции. Если всё-таки нужно восстановить полный ход истории получения всех соотношений для сферических функций Бесселя, то помочь маловероятно) Их, этих соотношений, немало (ссылка в оффтопе):

(Оффтоп)

https://web.archive.org/web/20091221080935/http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_439.htm

Вообще, многие рекуррентные соотношения или формулы можно положить в основу и из них получить остальные соотношения. Нужно будет работать с архивом статей.

[PhysicsEnjoyer]

lel0lel
Да,спасибо.
Думаю я обойдусь тем результатом что получил) На вопрос ответ найден