Квази-восходящие последовательности

[Dedekind]

Определение. Последовательность $(a_n)$ называется квази-восходящей, если для любого $\varepsilon>0$ существует $N$ такое, что для любых $n>m\ge N$ выполняется $a_n > a_m - \varepsilon$.

Теорема. Ограниченная квази-восходящая последовательность сходится.

Мое доказательство. Пусть $(a_n)$ - ограниченная квази-восходящая последовательность. Тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса в ней можно выделить сходящуюся подпоследовательность: $(a_{n_{k}})\to a$.
Тогда, для любого $\varepsilon>0$ существует $N_1$ такое, что если $n_{k}\ge N_1$, то $|a_{n_{k}}-a|<\varepsilon/2$.
Поскольку последовательность квази-восходящая, то для любого $\varepsilon>0$ существует $N_2$ такое, что если $n_{k}> n \ge N_2$, то $a_{n_{k}} > a_n - \varepsilon/2$, и, следовательно, $|a_n - a_{n_{k}}|<\varepsilon/2$.
Тогда, для любого $\varepsilon>0$ существует $N=\max\{N_1, N_2\}$ такое что, если $n\ge N$, то $|a_n - a| = |a_n - a_{n_{k}} +a_{n_{k}}-a |\le |a_n - a_{n_{k}}| + |a_{n_{k}}-a|< \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon$.

Вопрос. Нет ли ошибок в доказательстве? Потому что в решебнике доказательство выглядит несколько сложнее.

[drzewo]

тривиальная задача на понятие верхнего предела

[Padawan]

Dedekind в сообщении #1685803 писал(а):

и поскольку для любого $n$ имеем $n_{k}> n$

Как это? Кванторов каких-то не хватает.

Dedekind в сообщении #1685803 писал(а):

$a_{n_{k}} > a_n - \varepsilon/2$, и, следовательно, $|a_n - a_{n_{k}}|<\varepsilon/2$.

Нет, не следовательно.

[Dedekind]

Padawan в сообщении #1685810 писал(а):

Как это? Кванторов каких-то не хватает.

Да, эта фраза, видимо, вообще там лишняя.

Padawan в сообщении #1685810 писал(а):

Нет, не следовательно.

Ага, вот в чем дело. Спасибо!

[Dedekind]

Тогда так.

Пусть $(x_n)$ — ограниченная квази-восходящая последовательность. Пусть она расходится. Тогда она должна содержать как минимум две подпоследовательности, сходящихся к разным пределам. Предположим, что $(x_{n_k}) \to x$ и $(x_{n_k'}) \to x'$ - такие две подпоследовательности. Пусть также $x > x'$.

Для любого $\varepsilon >0$, существует $N_1$ такое, что для любых $n_k, n_k' \geq N_1$ будет $|x_{n_{k}} - x| < \varepsilon$ и $|x_{n_{k}'} - x'| < \varepsilon$.

Так как $(x_n)$ - квази-восходящая, то для любого $\varepsilon > 0$ существует $N_2$ такое, что если $n_{k}' > n_{k} \geq N_2$, то $x_{n_{k}'} > x_{n_{k}} - \varepsilon$.

Положим $\varepsilon = \frac{x-x'}{3}$ и $N = \max\{N_1, N_2\}$, тогда оба условия выше должны выполняться. Пусть $n_{k}' > n_{k} \geq N$. Тогда $x_{n_k'} > x_{n_k} - \varepsilon$.

Из определения предела $x_{n_k} > x - \varepsilon$. Подставляя в предыдущее неравенство, получим $x_{n_k'} > x - 2\varepsilon$.

Из выражения для $\varepsilon$ имеем $x = x' + 3\varepsilon$. Подставляя в предыдущее неравенство, получаем $x_{n_k'} > x' + 3\varepsilon - 2\varepsilon = x' + \varepsilon$.

Следовательно, $x_{n_k'} - x' > \varepsilon$, что противоречит тому, что $ x'$ - это предел для $(x_{n_k'})$.

[drzewo]

Dedekind в сообщении #1685803 писал(а):

Ограниченная квази-восходящая последовательность сходится.

ограниченная сверху

[Dedekind]

drzewo в сообщении #1685864 писал(а):

ограниченная сверху

Да, конечно. Под ограниченностью у меня понимается ограниченность одновременно и сверху, и снизу. Но для квази-восходящей из первого следует второе.

[RIP]

(Оффтоп)

Любая квази-восходящая последовательность ограничена снизу.