2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение12.05.2025, 21:55 
### **Формальный анализ плотности метрики при частотном смешении**

#### **1. Исходное пространство сигналов**
Пусть имеется гильбертово пространство сигналов \mathcal{H} = L^2(\mathbb{R})) с базисом из эрмитовых функций:
[\
\psi_n(t) = \frac{1}{\sqrt{2^n n! \sqrt{\pi}}} H_n(t) e^{-t^2/2}, \quad n = 0, 1, 2, \dots
\]
- **Метрика** между двумя сигналами \( f, g \in \mathcal{H} \) :
\[
  d(f, g) = \|f - g\| = \sqrt{\int_{-\infty}^\infty |f(t) - g(t)|^2 dt}.
  \]
- **Плотность метрики** характеризуется числом значимых базисных функций, требуемых для аппроксимации сигналов.

---

#### **2. Частотное смешение и расширение пространства**
При смешении двух сигналов \( f(t) \) и \( g(t) \) их произведение \( h(t) = f(t) \cdot g(t) \) требует большего числа базисных функций для представления.

##### **Разложение по эрмитовым функциям**
Если:
\[
f(t) = \sum_{k=0}^N a_k \psi_k(t), \quad g(t) = \sum_{m=0}^M b_m \psi_m(t),
\]
то их произведение:

\[
h(t) = \sum_{k=0}^N \sum_{m=0}^M a_k b_m \psi_k(t) \psi_m(t).
\]
Используя формулу произведения эрмитовых функций:
\[
\psi_k(t) \psi_m(t) = \sum_{s=0}^{\min(k,m)} c_s^{k,m} \psi_{k+m-2s}(t),
\]

где коэффициенты \( c_s^{k,m} \) определяются ортогональностью. Таким образом, \( h(t) \) лежит в подпространстве размерности \( \sim (N+M)^2 \) .

---

#### **3. Изменение плотности метрики**
- **Исходная плотность**:
Число базисных функций \( \sim \max(N, M) \) .
- **После смешения**:
Число базисных функций \( \sim (N+M)^2 \) .


### **Выводы**
1. **Рост размерности**:
Смешение сигналов расширяет пространство представления, увеличивая число базисных функций.
2. **Изменение метрики**:
Расстояния между сигналами измеряются в более "густом" пространстве, что делает метрику более чувствительной.
3. **Физическая интерпретация**:
Появление новых частотных компонент эквивалентно добавлению новых осей в пространстве состояний, увеличивая его ёмкость.

Формально это описывается тензорным произведением пространств и ростом энтропии сигнала. Для строгих приложений (например, квантовая механика или сжатие данных) требуется учет спектральных плотностей.

-- 12.05.2025, 21:56 --

Подскажите, можно ли доверять этой информации?

-- 12.05.2025, 21:58 --

Это ответ DeepSeek

-- 12.05.2025, 22:10 --

Можно ли сказать, что затухание будет происходить по причине роста плотности метрики?

-- 12.05.2025, 22:13 --

При частотном смешении

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение12.05.2025, 22:17 
Не читая всего этого текста можно сказать, что нет, не текущий момент в математических выводах полностью полагаться на LLM нельзя: наряду с правдивым изложением учебников они также много галюцинируют.

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение12.05.2025, 22:39 
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%93% ... 1%80%D0%B0 - показаны параметры изменения объема сферы

Где про эти свойства, можно узнать подробнее?

-- 12.05.2025, 23:13 --

https://elib.spbstu.ru/dl/5/tr/2023/tr23-57.pdf/en/info - Ядерные оценки плотности

Попробую поискать, тут.

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение14.05.2025, 10:35 
https://www.perplexity.ai/search/formul ... JNKVNWcA8A - Формула произведения эрмитовых функций с примерами на Perplexity (можно проверять ответы, AI, через другие языки)

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение25.05.2025, 14:49 
https://www.perplexity.ai/search/konden ... AdTyhcdNkg - Конденсат Бозе — Эйнштейна и Квантовая запутанность (заметки на Perplexity)

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение25.05.2025, 15:01 
 !  High-trade
Пожалуйста, уточните, чем именно Вы занимаетесь в этой теме. Пытаетесь разобраться в некотором математическом вопросе? Тогда нужно не спрашивать ИИ, а читать учебники и спрашивать, наткнувшись на непонятное. Раздел "Помогите решить/разобраться" не работает в режиме "ИИ мне что-то тут ответил, проверьте, прав он или нет".

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение25.05.2025, 15:06 
ИИ собирает ответы и статьи на вопросы в учебниках их нет.

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение25.05.2025, 15:11 
High-trade
Ответа на какой именно вопрос Вы не нашли в учебниках? Приведите этот вопрос дословно.
Какие учебники Вы проверили?

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение25.05.2025, 15:16 
High-trade в сообщении #1685760 писал(а):
https://ru.m.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B8%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D1%84%D0%B5%D1%80%D0%B0 - показаны параметры изменения объема сферы

Где про эти свойства, можно узнать подробнее?

-- 12.05.2025, 23:13 --

https://elib.spbstu.ru/dl/5/tr/2023/tr23-57.pdf/en/info - Ядерные оценки плотности

Попробую поискать, тут.


Почему радиус N-мерной сферы ведет себя, как всплеск, при увеличении размерности?

-- 25.05.2025, 15:21 --

Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям - можно и так сформулировать.

-- 25.05.2025, 15:40 --

Формальный анализ плотности метрики при частотном смешении - еще одна формулировка.

-- 25.05.2025, 15:53 --

Конденсат Бозе — Эйнштейна и Черные дыры - тоже, формулировка

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение25.05.2025, 15:59 
сумасшедший дом какой-то

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение25.05.2025, 16:02 
Однако, формулы это показывают))

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение25.05.2025, 16:14 
Думаю вас скоро забанят

 
 
 
 Re: Применение многочленов Эрмита к затухающим колебаниям
Сообщение25.05.2025, 16:34 
Информация все равно в интернете, но понимают ее единицы и это хорошо.
И в расчетах нет ошибок.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение25.05.2025, 18:05 
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Пургаторий (Св)»
Причина переноса: этот поток сознания не тянет даже на Пургаторий(М).

 !  High-trade
по итогам темы двухнедельный бан за бредогенерацию.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group