ИИ предложил задачу по ТЧ

[SomePupil]

Этим вечером я запросил ChatGPT придумать мне задачу по теории чисел, и она выдала следующее:

Цитата:

Пусть $p > 5$ простое число. Докажите, что существует такое целое $n,$ что десятичная запись $np$ состоит только из единиц. Другими словами, докажите, что существует целое $n,$ такое что $np$ может быть записано в виде 1, 11, 111, 1111, ... .

При этом она пишет, что концепт взяла из Всероса, правда, конкретный год не указала.

Задача мне понравилась Предлагаю и Вам решить её.

[mihaild]

Можно пример $n$ для $p = 5$?

[SomePupil]

mihaild в сообщении #1685724 писал(а):

Можно пример $n$ для $p = 5$?

Поправил условие.

[mihaild]

Да вроде стандартно, и для Всероса слабовато. Какие-то два репьюнита дают одинаковые остатки по модулю $p$, выкинем хвостовые нули из их разности (т.к. $p$ взаимно просто с $10$).

[SomePupil]

Лихо

[worm2]

SomePupil в сообщении #1685725 писал(а):

mihaild в сообщении #1685724 писал(а):

Можно пример $n$ для $p = 5$?

Поправил условие.

А можно уточнить, это вы лично поправили условие, или же вы передали замечание ИИ, и он поправил?

[SomePupil]

worm2, я лично поправил. У ИИ при формулировке было только простое число, случаи $p=2$ и $p=5$, к сожалению или к счастью, не исключались.

[maxal]

Можно явно указать репьюнит, делящийся на $p$:

$$\frac{10^{\varphi(9p)}-1}9,$$

где $\varphi$ - функция Эйлера.