Лемма Гаусса

[drzewo]

Дано риманово многообразие $M$ с метрикой $g_{ij}(x)$ в локальных координатах $x=(x^1,\ldots,x^m)$.
Зафиксируем точку $\hat x\in M$. Рассмотрим сферу

$$S=\{v=(v^1,\ldots,v^m)\in T_{\hat x}M\mid |v|^2=g_{ij}(\hat x)v^iv^j=1\}.$$

Каждому вектору $v\in S$ поставим в соответствие геодезическую $x_v(t),\quad x_v(0)=\hat x,\quad x_v(0)=v$. Причем будем считать параметр $t$ на геодезической натуральным: $|\dot x_v(t)|^2=g_{ij}(x(t))\dot x^i(t)\dot x^j(t)=1$.
Выберем настолько малое $\tau>0$, что никакие две разные геодезические из семейства $\Gamma=\{x_v\}_{v\in S}$ не пересекаются при $t\in(0,\tau]$.
Введем многообразие $\Sigma=\{x_v(\tau)\in M\mid v\in S\},\quad \dim \Sigma=m-1$.

Доказать, что:
Вектор $\dot x_v(\tau)\in T_{x_v(\tau)}M$ перпендикулярен многообразию $\Sigma$.

[vicvolf]

Если учесть подсказку - Лемма Гаусса, то, обладая знаниями в римановой геометрии, задача не очень сложная. Однако, никто из участников форума, по разным причинам, не ответил.
Поэтому я решил предложить эту задачу ИИ и вот, что он ответил:

Лемма Гаусса (формулировка):
В римановом многообразии $M$ с экспоненциальным отображением $\exp_{\hat x}: T_{\hat x}M \to M$ радиальные геодезические, исходящие из точки $\hat x$, ортогональны сферам малого радиуса $\Sigma = \exp_{\hat x}(\tau S)$, где $S = \{v \in T_{\hat x}M \mid |v| = 1\}$.
Более формально:
Для любого вектора $v \in S$ и касательного вектора $w \in T_v S$ к единичной сфере в $T_{\hat x}M$, выполняется
$g\left( d\exp_{\hat x}(\tau v)[\tau w], \, \dot x_v(\tau) \right) = 0,$
где $\dot x_v(\tau)$ — скорость геодезической $x_v(t)$ в точке $x_v(\tau)$, а $d\exp_{\hat x}$ — дифференциал экспоненциального отображения.

Решение задачи с использованием леммы Гаусса
Задача: Доказать, что вектор $\dot x_v(\tau)$ перпендикулярен многообразию $\Sigma = \{x_v(\tau) \mid v \in S\}$.
Шаг 1. Интерпретация $\Sigma$ через экспоненциальное отображение
Многообразие $\Sigma$ можно записать как:
$\Sigma = \exp_{\hat x}(\tau S),$
где $S$ — единичная сфера в касательном пространстве $T_{\hat x}M$. Это образ сферы $S$ под действием экспоненциального отображения, растянутой на радиус $\tau$.
Шаг 2. Касательные векторы к $\Sigma$
Любой касательный вектор к $\Sigma$ в точке $x_v(\tau)$ порождается вариацией начального направления $v$ в $T_{\hat x}M$. Пусть $w \in T_v S$ — вектор, касательный к единичной сфере $S$ в точке $v$. Тогда соответствующий касательный вектор к $\Sigma$ имеет вид:
$W = d\exp_{\hat x}(\tau v)[\tau w].$
Это следует из дифференциала экспоненциального отображения, который переводит вариацию $\tau w$ в $T_{\hat x}M$ в касательный вектор к $\Sigma$.
Шаг 3. Применение леммы Гаусса
Согласно лемме Гаусса, для любого $w \in T_v S$ выполняется:
$g\left( W, \, \dot x_v(\tau) \right) = 0.$
Это означает, что вектор скорости геодезической $\dot x_v(\tau)$ ортогонален **всем** касательным векторам к $\Sigma$, порожденным вариациями $w \in T_v S$.
Шаг 4. Заключение
Так как все касательные векторы к $\Sigma$ в точке $x_v(\tau)$ имеют вид $W = d\exp_{\hat x}(\tau v)[\tau w]$, а лемма Гаусса гарантирует их ортогональность $\dot x_v(\tau)$, то:
$\dot x_v(\tau) \perp T_{x_v(\tau)} \Sigma.$
Следовательно, $\dot x_v(\tau)$ перпендикулярен многообразию $\Sigma$.
Почему лемма Гаусса работает?
1. Геометрическая интуиция:
Экспоненциальное отображение "разворачивает" геодезические из касательного пространства. Лемма Гаусса утверждает, что это разворачивание сохраняет ортогональность между радиальными направлениями (геодезическими) и сферическими направлениями (вариациями $w$).
2. Связь с метрикой:
В нормальных координатах, построенных через $\exp_{\hat x}$, метрика в точке $x_v(\tau)$ имеет вид:
$ ds^2 = dr^2 + r^2 h_{ij}(r, \theta) d\theta^i d\theta^j, $
где $r = \tau$, а $\theta$ — координаты на сфере $S$. Отсутствие смешанных членов $dr \, d\theta^i$ (благодаря лемме Гаусса) означает, что радиальное направление $\partial_r = \dot x_v(\tau)$ ортогонально сферическим направлениям $\partial_{\theta^i}$.
Итог
Использование леммы Гаусса позволяет сразу заключить, что $\dot x_v(\tau)$ ортогонален $\Sigma$, без явного анализа полей Якоби. Это демонстрирует мощь леммы в римановой геометрии — она связывает глобальные геометрические свойства (ортогональность) с локальным поведением экспоненциального отображения.

Интересно, как оценит этот ответ автор темы?

[drzewo]

vicvolf
Вы, по-моему, злоупотребляете ИИ, а любые излишества вредят здоровью.