Лемма Гаусса

[drzewo]

Дано риманово многообразие $M$ с метрикой $g_{ij}(x)$ в локальных координатах $x=(x^1,\ldots,x^m)$.
Зафиксируем точку $\hat x\in M$. Рассмотрим сферу

$$S=\{v=(v^1,\ldots,v^m)\in T_{\hat x}M\mid |v|^2=g_{ij}(\hat x)v^iv^j=1\}.$$

Каждому вектору $v\in S$ поставим в соответствие геодезическую $x_v(t),\quad x_v(0)=\hat x,\quad x_v(0)=v$. Причем будем считать параметр $t$ на геодезической натуральным: $|\dot x_v(t)|^2=g_{ij}(x(t))\dot x^i(t)\dot x^j(t)=1$.
Выберем настолько малое $\tau>0$, что никакие две разные геодезические из семейства $\Gamma=\{x_v\}_{v\in S}$ не пересекаются при $t\in(0,\tau]$.
Введем многообразие $\Sigma=\{x_v(\tau)\in M\mid v\in S\},\quad \dim \Sigma=m-1$.

Доказать, что:
Вектор $\dot x_v(\tau)\in T_{x_v(\tau)}M$ перпендикулярен многообразию $\Sigma$.