Условный экстремум

[marie-la]

Задача: найти супремум выражения

$$\sum\limits_{j=1}^{n}x_j x_{j+1}$$

при условии

$$\sum\limits_{j=1}^{n}x_j^2=1.$$

Я так понимаю, что надо найти максимальное собственное число соответствующей матрицы квадратичной формы (трехдиагональной). Я нашла для n=3,4,5,6 - вообще никакой закономерности не вижу. Характеристический полином выражается через предыдущие, но как корни при этом связаны? Помогите, пожалуйста!

[мат-ламер]

marie-la в сообщении #1684095 писал(а):

Я так понимаю, что надо найти максимальное собственное число соответствующей матрицы квадратичной формы (трехдиагональной).

А по простому решать не пробовали? Типа, составить систему уравнений для множителей Лагранжа?

[marie-la]

Да, один множитель там, и система неприятная, как по мне

[мат-ламер]

marie-la в сообщении #1684125 писал(а):

и система неприятная, как по мне

Попробуйте для начала осилить случаи $n=2$ и $n=3$ . Может какая-то закономерность выявится.

[dgwuqtj]

marie-la в сообщении #1684095 писал(а):

Задача: найти супремум выражения

$$\sum\limits_{j=1}^{n}x_j x_{j+1}$$

У вас сумма точно до $n$, а не до $n - 1$?

Вы бы написали, что там получилось с характеристическими многочленами. Можно ещё попробовать зафиксировать каждые $n - 2$ переменные, решить задачу для двух оставшихся, и получить из этого систему уравнений. Хотя должно получиться то же самое, что и из метода множителей Лагранжа.

[мат-ламер]

marie-la в сообщении #1684095 писал(а):

Я нашла для n=3,4,5,6 - вообще никакой закономерности не вижу. Характеристический полином выражается через предыдущие, но как корни при этом связаны?

Вы бы что-нибудь сюда выложили.

[marie-la]

Да-да, извините, до $n-1$. Похоже, уже не могу сейчас исправить :(

[drzewo]

Я бы написал условия задачи в матричном виде, а потом применил метод множителей Лагранжа

-- 28.04.2025, 12:45 --

Слово "супремум" стоит заменить на "максимум" непрерыная функция на компакте всетаки

[marie-la]

$n=2: \max(f)=\frac{1}{2}$
$n=3: \max(f)=\frac{1}{\sqrt{2}}$
$n=4: \max(f)=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$
$n=5: \max(f)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

-- 28.04.2025, 12:51 --

drzewo в сообщении #1684135 писал(а):

Я бы написал условия задачи в матричном виде, а потом применил метод множителей Лагранжа

Наверное, не понимаю - будет какой-то другой метод множителей Лагранжа, не с одним множителем?

-- 28.04.2025, 12:45 --

Слово "супремум" стоит заменить на "максимум" непрерыная функция на компакте всетаки

Переписала как было в условии, вообще согласна, конечно

-- 28.04.2025, 13:00 --

drzewo в сообщении #1684135 писал(а):

Я бы написал условия задачи в матричном виде, а потом применил метод множителей Лагранжа

По идее в матричном виде производная $(Ax,x)-\lambda ||x||^2$ как раз и даст, что $\lambda$ - собственное число.

[dgwuqtj]

Выглядит как $\cos \frac \pi {n + 1}$.

[marie-la]

dgwuqtj в сообщении #1684138 писал(а):

Выглядит как $\cos \frac \pi {n + 1}$.

Да-да, похоже, спасибо! И для следующего $n$ совпадает! Теперь доказать осталось :)

[marie-la]

dgwuqtj в сообщении #1684138 писал(а):

Выглядит как $\cos \frac \pi {n + 1}$.

Вроде выходит, что характеристический многочлен для $\lambda=\cos\theta$ будет $\frac{(-1)^n \sin(n+1)\theta}{2^n \sin\theta}$.
По индукции можно доказать.
Хотелось бы как-то полегче, без этого угадывания

[мат-ламер]

marie-la в сообщении #1684154 писал(а):

Вроде выходит, что характеристический многочлен для $\lambda=\cos\theta$ будет $\frac{(-1)^n \sin(n+1)\theta}{2^n \sin\theta}$.
По индукции можно доказать.

Это похоже на многочлены Чебышева второго рода.

-- Пн апр 28, 2025 13:52:48 --

Может быть в решении наблюдается некоторая симметрия относительно $x_i$. Допустим все они положительны. Причём $x_1=x_n$ и $x_2=x_3=...=x_{n-1}$ .

[marie-la]

$x_1=x_n$ - да
$x_2=x_3=...=x_{n-1}$ - нет

[мат-ламер]

marie-la в сообщении #1684095 писал(а):

Характеристический полином выражается через предыдущие

Но если это так, то выпишите, как именно выражается. Далее открываете в Википедии страницу про многочлены Чебышева. Далее смотрите, на что именно похож ваш хар. многочлен.