Количество теплоты, поглощенное газом.

[Pripyat]

Добрый день, решаю задачу 2.90 из задачника Белолипецкого:

Цитата:

Идеальный газ, взятый в количестве $\nu$ молей, участвует в некотором процессе, график которого изображен на рисунке, и проходит последовательно состояния 1, 2, 3. Найдите поглощенное газом в этом процессе количество теплоты $\Delta Q$, если известны объёмы $V_1$ и $V_2$ и давления $p_1$ и $p_2$. Внутренняя энергия одного моля газа определена соотношением $U_\mu = CT$.

Решаю так: $\Delta Q = \Delta U + A$.
Составлю уравнения Клапейрона-Менделеева:
$p_1V_1 = \nu RT_1$
$p_1V_2 = \nu RT_3$
Тогда $T_3-T_1 = \frac{p_1}{\nu R}(V_2-V_1)$

В итоге:
$\Delta U = \nu\Delta U_\mu = \nu C (T_3-T_1) = \nu C \frac{p_1}{\nu R}(V_2-V_1) = \frac{C p_1}{R}(V_2-V_1) $
$A = \frac{1}{2}(p_1+p_2)(V_2-V_1)$
$\Delta Q = \frac{C p_1}{R}(V_2-V_1) + \frac{1}{2}(p_1+p_2)(V_2-V_1) $

Но в ответе почему-то: $\Delta Q = \nu\frac{C p_1}{R}(V_2-V_1) + \frac{1}{2}(p_1+p_2)(V_2-V_1) $.
То есть в $\Delta U$ появился дополнительный множитель $\nu$, у меня же он сократился.
Помогите пожалуйста разобраться и найти ошибку.

[sergey zhukov]

Видимо, путаница с молярной и массовой (удельной) теплоемкостью. А так же нужно следить за тем, что подразумевается под $R$ - универсальная газовая постоянная $R$, или постоянная для конкретного газа $R^\prime=\frac{R}{M}$ (в этой задаче это последнее, правда, роли не играет).

[Pripyat]

Это школьная задача, думаю что по классике $R \approx 8,31$ Дж/ моль К.
Судя по условию, дана именно молярная теплоемкость C. В задаче она никак не описана, просто коэффициент, но судя по смыслу - молярная теплоемкость.

[DimaM]

Pripyat в сообщении #1683694 писал(а):

Судя по условию, дана именно молярная теплоемкость C. В задаче она никак не описана, просто коэффициент, но судя по смыслу - молярная теплоемкость.

В цитате это указано явно:

Pripyat в сообщении #1683692 писал(а):

Внутренняя энергия одного моля газа определена соотношением $U_\mu = CT$.

[Pripyat]

В большинстве задач просто пишут, что задана такая-то теплоемкость и всё. Например, задана теплоемкость при постоянной давлении или объеме.
А в определении уже и так сказано, что $C = \frac{\Delta Q}{\Delta T}$, для молярной же - $C_\mu= \frac{\Delta Q}{\nu \Delta T}$.

Формально, в этой задаче дан линейный закон зависимости внутренней энергии от температуры. А уже отсюда, мы можем сделать вывод что коэффициент пропорциональности совпадает с теплоемкостью.

[DimaM]

Pripyat в сообщении #1683700 писал(а):

Формально, в этой задаче дан линейный закон зависимости внутренней энергии от температуры. А уже отсюда, мы можем сделать вывод что коэффициент пропорциональности совпадает с теплоемкостью.

А как связаны внутренняя энергия газа и теплоемкость при постоянном объеме?

[sergey zhukov]

Pripyat
Если $C$ - молярная теплоемкость, $R$ - универсальная газовая постоянная, то размерность первого члена для теплоты в ответе из учебника - моль×Дж. Не сходится. Т.е. молярная теплоемкость в этой задаче должна быть равна $\frac{C}{\nu}$, где $C$ - это та теплоемкость, которая дана с задаче, т.е. размерность $C$ - Дж/К (как и сказано в условии).

Просто с ходу можно перепутать, о какой энергии $U\mu$ тут речь: о Дж или Дж/моль.

[Pripyat]

sergey zhukov, спасибо!

[DimaM]

sergey zhukov в сообщении #1683702 писал(а):

$C$ - это та теплоемкость, которая дана с задаче, т.е. размерность $C$ - Дж/К (как и сказано в условии)

Давычеблин!
В условии ясно же сказано "одного моля", то есть размерность Дж/моль/К

[sergey zhukov]

DimaM
Ну тогда размерность в ответе из учебника не сходится. Да и потом, внутренняя энергия одного моля газ должна измеряться в Дж, а не в Дж/моль.

[Pripyat]

DimaM
В своём решении я учёл, что молей было $\nu$
U = \nu U_\mu = \nu CT
или
$\Delta U = \nu \Delta U_\mu$, однако ответ по прежнему не сходится.

Вы лучше укажите, какой ответ правильный и как быть с размерностями?

[sergey zhukov]

Pripyat
Да ваше решение вроде верное.

Если условие задачи понимать, как $U=\nu CT$, т.е. размерность $C$ - Дж/(моль×K), то это ведет к вашему ответу. А решение из учебника странное.

[Cos(x-pi/2)]

Pripyat
У меня получился такой же ответ, как у Вас. (Если же вместо $\nu C$ написать для теплоемкости газа просто $C,$ то в ответе будет $\nu$ в знаменателе, но не в числителе. Т.е. ответ из задачника не получается ни в каком из этих вариантов. Предполагаю, в ответе в задачнике опечатка (если только мы не провираемся в чём-то изначально принципиальном :))

sergey zhukov, здесь $\nu$ -- безразмерное число, поэтому соображениями размерности невозможно выяснить, где и как оно должно быть или вообще не должно быть.

[sergey zhukov]

Cos(x-pi/2)
Как же так? $\nu$ измеряется в молях. Это единица измерения. Это не безразмерное число.

[Cos(x-pi/2)]

sergey zhukov
Там в задачнике есть "теоретические пояснения" для всех величин. Количество молей определено там так:

$\nu=\dfrac{m}{\mu},$ где:

$m$ - масса вещества,

$\mu$ - молярная масса данного вещества, т.е. масса одного моля данного вещества.

То есть (это в той же формуле в задачнике поясняется): $\nu=N/N_A,$ где $N$ - число молекул в газе, $N_A$ - число Авогадро, определённое там как количество атомов в углероде-12 массой $0.012\,\text{кг}.$ Согласно этим определениям $\nu$ есть безразмерное число.