Исследование несобственного интеграла на сходимость

[ThisIsMyShadow]

Столкнулся недавно с таким интегралом:

$$\int\limits_{\scriptsize 1}^{\scriptsize \infty}{\sin\left(x^{2}\right)}{\;\mathrm{d}x}$$

, который нужно исследовать на равномерную сходимость. Я сразу заметил, что для него не выполняется необходимое условие сходимости, поэтому подумал, что интеграл расходится, однако в решении сказано, что он сходится условно. Этот факт легко доказать, если провести замену, но я не понимаю, почему интеграл все же сходится, даже при условии невыполнения необходимого условия сходимости.

[mihaild]

А что такое "равномерная сходимость несобственного интеграла"?

ThisIsMyShadow в сообщении #1683574 писал(а):

Я сразу заметил, что для него не выполняется необходимое условие сходимости

Которое?

[ThisIsMyShadow]

Ошибся, необходимо было исследовать интеграл на абсолютную сходимость.

-- 24.04.2025, 20:46 --

Чтобы несобственный интеграл 1 рода сходился, он должен быть бесконечно малым на $+\infty$. Это и есть необходимое условие сходимости несобственного интеграла, которое здесь не выполняется(предела вообще не существует)

[mihaild]

ThisIsMyShadow в сообщении #1683621 писал(а):

Чтобы несобственный интеграл 1 рода сходился, он должен быть бесконечно малым на $+\infty$.

Нет, не обязательно, откуда Вы взяли это условие?

[ThisIsMyShadow]

Разве? Сходимость несобственных интегралов ведь тесно связана со сходимостью соответствующих им рядов, у которых данный признак существует.

[drzewo]

ThisIsMyShadow в сообщении #1683621 писал(а):

Чтобы несобственный интеграл 1 рода сходился, он должен быть бесконечно малым на $+\infty$.

а я вообще не понимаю, что тут написано

[mihaild]

ThisIsMyShadow в сообщении #1683628 писал(а):

Сходимость несобственных интегралов ведь тесно связана со сходимостью соответствующих им рядов, у которых данный признак существует

Тогда попробуйте его строго сформулировать и доказать (хотя бы для интегралов от неотрицательных функций).

[ThisIsMyShadow]

$\lim_{x\to{\infty}}{f(x)}=0$

[Someone]

ThisIsMyShadow в сообщении #1683628 писал(а):

Разве? Сходимость несобственных интегралов ведь тесно связана со сходимостью соответствующих им рядов, у которых данный признак существует.

Точно сформулировать эту теорему можете? И заодно проверить, выполняется ли для этого интеграла её условие.

ThisIsMyShadow в сообщении #1683632 писал(а):

$\lim_{x\to{\infty}}{f(x)}=0$

И что это означает?

[ThisIsMyShadow]

Пусть для функции f ( x ) ${\displaystyle f(x)}$ выполняется:

${\displaystyle \forall x\geqslant 1\quad f(x)>0}$ , т.е. функция принимает положительные значения на промежутке [ 1 , + ∞ ) ;
${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\geqslant 1\qquad x_{1}<x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\geqslant f(x_{2})}$ , т.е. функция является монотонно невозрастающей на [ 1 , + ∞ );
${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad f(n)=a_{n}}$ (соответствие значения функции члену ряда).

Тогда ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ и несобственный интеграл ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }\!f(x)\,dx}$ сходятся или расходятся одновременно.

-- 24.04.2025, 21:36 --

Это формулировка интегрального признака Коши

-- 24.04.2025, 21:37 --

Но я уже понял, что выполняется он только для монотонно невозрастающих функций, в чем, скорее всего, и дело

[Someone]

ThisIsMyShadow в сообщении #1683636 писал(а):

Это формулировка интегрального признака Коши

Я в курсе.
Так условия этой теоремы для вашего интеграла выполняются? Или нет?

-- Чт апр 24, 2025 18:41:06 --

ThisIsMyShadow в сообщении #1683636 писал(а):

Но я уже понял, что выполняется он только для монотонно невозрастающих функций, в чем, скорее всего, и дело

Разумеется.

Кстати, о равномерной сходимости говорят в случае интегралов, зависящих от параметра. В вашем интеграле никаких параметров нет.

Сходимость можно доказать путём хитрого интегрирования по частям.

[drzewo]

ThisIsMyShadow в сообщении #1683621 писал(а):

димо было исследовать интеграл на абсолютную сходимость.

1) в интеграле $\int_1^\infty|\sin x^2|dx$ сделать замену $x=\sqrt y$
2) полученный интеграл свести к сумме $\sum_k\int_{k\pi}^{(k+1)\pi}\ldots dy$
3) каждое из слагаемых проинтегрировать по частям и заметить, что внеинтегральный член дает расходящийся ряд

[Combat Zone]

Someone в сообщении #1683637 писал(а):

Сходимость можно доказать путём хитрого интегрирования по частям.

Или с помощью признака Дирихле, аккуратно подобрав нужные множители.

Отсутствие абсолютной сходимости - с помощью стандартного финта, когда модуль синуса оценивается снизу квадратом синуса. И дальше эта идея развивается.

Этот интеграл традиционно приводится в назидание :) с тем, чтобы продемонстрировать, что слова "необходимое условие сходимости" для интегралов произносить не надо.

[drzewo]

(Оффтоп)

а допустим

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\int_1^x|\sin t^2|dt=?$$