Форма мениска в цилиндрическом капилляре

[reterty]

Форма мениска в цилиндрическом капилляре представляет собою поверхность вращения и описывается функцией $z(r)$ (задана в цилиндрической системе координат) которая является решением дифференциального уравнения $\dfrac{z^{\prime \prime}}{\left[ 1+\left( z^{\prime }\right) ^2\right] ^{3/2} }+\dfrac{z^{\prime }}{r\sqrt{1+\left( z^{\prime }\right) ^2 }}=\alpha^2 z$, причем $0<r<1$, $z>0$, $\left.\dfrac{{\rm d} z}{{\rm d} r}\right\vert_{r=0}=0$, $\left.\dfrac{{\rm d} z}{{\rm d} r}\right\vert_{r=1}=a>0$. Необходимо доказать (или опровергнуть) утверждение, что функция, удовлетворяющая указанным выше условиям является монотонно возрастающей на интервале $0<r<1$, то есть не имеет ни точки перегиба ни локального экстремума при произвольных значениях $\alpha$ и $a$. Другими словами, что мениск всюду вогнутый. Численный расчет показывает что это всегда так, а вот с аналитическим доказательством туго...

[sergey zhukov]

reterty
Точки перегиба не обязательно мешают монотонности, кстати. Монотонность и всюду вогнутость - это же не одно и то же. Интересует все же всюду вогнутость, как я понял.

[reterty]

sergey zhukov в сообщении #1683335 писал(а):

reterty
Точки перегиба не обязательно мешают монотонности, кстати. Монотонность и всюду вогнутость - это же не одно и то же. Интересует все же всюду вогнутость, как я понял.

Да, Вы правы! Необходимо строго показать, что вторая производная всюду положительна. Отмечу еще, что если $\alpha \to 0$, то $z \to \infty$ всюду на интервале $0<r<1$.

[drzewo]

Странно, вроде бы форма не должна зависеть от высоты, а почему тогда в уравнение входит $z$...

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1683392 писал(а):

Странно, вроде бы форма не должна зависеть от высоты, а почему тогда в уравнение входит $z$...

Это всё очень похоже на уравнение Юнга-Лапласа. Но в нём правая часть несколько другая: $... = \Delta p^* - z(r)$

$z$ входит, потому что не только форму мениска описывает, но и собственно, высоту столба в капилляре.

[reterty]

EUgeneUS в сообщении #1683394 писал(а):

drzewo в сообщении #1683392 писал(а):

Странно, вроде бы форма не должна зависеть от высоты, а почему тогда в уравнение входит $z$...

Это всё очень похоже на уравнение Юнга Лапласа. Но в нём правая часть несколько другая: $... = \Delta p^* - z(r)$

$z$ входит, потому что не только форму мениска описывает, но и собственно, высоту столба в капилляре.

Это и есть расписанное уравнение Юнга_Лапласа. Но мы рассматриваем простейший случай открытого с обоих концов капилляра. Поэтому pressure jump $\Delta p=0$. кроме того в правой части не минус зет а зет. И не просто зет а зет помноженный квадрат отношения радиуса капилляра к капиллярной длине. В общем эта задача явно тянет на challenging problem. Може когда-нибудь ее добавят в список нерешенных проблем Гильберта..
при моем обезразмеривании координааты в ДУ записаны в долях радиуса капилляра а не капиллярной длины!

[EUgeneUS]

reterty
Ничего не понял.
1. Как Вы избавились от $\Delta p$? Если это скачок давления на границе фаз.
2. Как вы одной переменной задаёте форму двух поверхностей? И почему это приводит к изменению знака при $z$?

Видимо, тут нужен рисунок.

[drzewo]

reterty
а можно ссылку, где это уравнение написано в той форме, которую Вы воспроизводите?

[reterty]

drzewo в сообщении #1683429 писал(а):

reterty
а можно ссылку, где это уравнение написано в той форме, которую Вы воспроизводите?

Да, конечно: https://link.springer.com/article/10.11 ... 18-11648-1 (для скачивания воспользуйтесь помощью Элбакян). Искомое уравнение имеет номер (28) и находится на странице 4 статьи

[drzewo]

Ссылка на статью

[amon]

reterty в сообщении #1683402 писал(а):

Може когда-нибудь ее добавят в список нерешенных проблем Гильберта.

Есть такая книжка: Р. Финн, Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория, Мир., М., 1989. Подозреваю, что эта великая проблема в ней решена.

-- 23.04.2025, 13:59 --

Написанное уравнение эквивалентно следующему:
$\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=\rho g z,$
где $R_1$ и $R_2$ - главные радиусы кривизны цилиндрически симметричной поверхности. Все, что надо показать - что эти радиусы имеют одинаковые знаки.

[reterty]

amon в сообщении #1683464 писал(а):

reterty в сообщении #1683402 писал(а):

Може когда-нибудь ее добавят в список нерешенных проблем Гильберта.

Есть такая книжка: Р. Финн, Равновесные капиллярные поверхности. Математическая теория, Мир., М., 1989. Подозреваю, что эта великая проблема в ней решена.

-- 23.04.2025, 13:59 --

Написанное уравнение эквивалентно следующему:
$\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=\rho g z,$
где $R_1$ и $R_2$ - главные радиусы кривизны цилиндрически симметричной поверхности. Все, что надо показать - что эти радиусы имеют одинаковые знаки.

Да, в этой книге строго показано, вторая производная всюду положительна! Но давайте введем в уравнение Юнга-Лапласа терм EUgeneUS $\Delta p$: $\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=\rho g z+\Delta p,$ где разность внешних давлений может быть как положительна так и отрицательна. Останется ли данный вывод верен и для такого более общего случая?

[EUgeneUS]

reterty в сообщении #1683476 писал(а):

Но давайте введем в уравнение Юнга-Лапласа терм EUgeneUS $\Delta p$: $\sigma\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)=\rho g z+\Delta p,$

1. Тут опять что-то со знаками.
2. А я тут при чем?

[Geen]

(Оффтоп)

reterty в сообщении #1683476 писал(а):

Но давайте введем в уравнение Юнга-Лапласа

Ооо! Варп-двигатель на каппилярах!