Равенство смешанных частных производных

[thething]

Пусть в окрестности точки, скажем, $(0,0)$, определена вещественнозначная функция $f$ двух вещественных переменных, а также определены производные $f_x$, $f_y$ и $f_{xy}$. Тогда, если $f_{xy}$ непрерывна в точке $(0,0)$, то существует $f_{yx}(0,0)=f_{xy}(0,0)$. Это -- хорошо известная теорема Шварца (или Клеро) о равенстве смешанных частных производных. Может, кому-нибудь попадался (или кто-то знает) пример такой функции, чтобы $f_{yx}(0,0)=f_{xy}(0,0)$, $f_{xy}$ была непрерывна в точке $(0,0)$, а вот $f_{yx}$ непрерывной уже не была?

[Combat Zone]

Посмотрите Фихтенгольц, т.1, страница 407. https://disk.yandex.ru/i/dqtKp8DXhBy2sg

[thething]

Combat Zone в сообщении #1682314 писал(а):

Посмотрите Фихтенгольц, т.1, страница 407. https://disk.yandex.ru/i/dqtKp8DXhBy2sg

Пример из Фихтенгольца не годится. Это, в-общем-то, классический пример неравенства смешанных производных, который есть и в Гелбауме и много где ещё. Там закавыка в том, что обе частные производные разрывны. Если же Вы предлагаете ознакомиться с доказательством исходного утверждения (на с. 407 именно оно), то мне оно известно, вот только снова закавыка: ничего про непрерывность другой смешанной производной там не говорится.

[Combat Zone]

Нет, я вас не понимаю. На странице 407 нет ни примера, ни доказательства основного утверждения теоремы Шварца. Есть формулировка и набросок доказательства равенства частных производных при более слабых условиях. Вы о нем? Оно не подходит? Из этого утверждения следует, что при непрерывности одной смешанной производной вторая непрерывна также.

Я понимаю, что вам известны и доказательства теоремы Шварца, и контрпримеры.

[thething]

Combat Zone
Я про эти же самые условия и говорю. Единственное ослабление, по сравнению с тем, что сформулировал я, это требование существования двойного предела $f_{xy}$, вместо её непрерывности. Из чего делается вывод, что и сама $f_{xy}$ существует в данной точке (т.е. фактически доопределяется по непрерывности) и совпадает в ней с $f_{yx}$. Но только в точке. Т.е. о непрерывности $f_{yx}$ ничего не известно. Известно только её существование в точке и равенство с другой смешанной производной. Теоретически $f_{yx}$ вообще может быть определена только в одной точке, хотя это не интересно, это будет как раз означать её непрерывность.

-- 16.04.2025, 06:19 --

У Фихтенгольца доказано, что $\lim\limits_{x\to x_0,\;y\to y_0}^{}f_{xy}(x,y)=f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$.

[Combat Zone]

thething в сообщении #1682355 писал(а):

У Фихтенгольца доказано, что $\lim\limits_{x\to x_0,\;y\to y_0}^{}f_{xy}(x,y)=f_{xy}(x_0,y_0)=f_{yx}(x_0,y_0)$.

Это верно. Почему-то казалось, что если помухлевать с $W$, можно выйти на смешанную производную в другом порядке. Подумаю еще.

Вообще, я знаю, что достаточным условием (одним из) для равенства смешанных производных в области является абсолютная непрерывность в смысле Каратеодори, то есть представимость $u$ в виде $u(x,y)=\iint_{Q(x,y)} h(t_1,t_2)\, dt_1dt_2$, где $h$ суммируема, область интегрирования - прямоугольник со сторонами, параллельными осям, такой, что интеграл становится интегралом с переменными верхними пределами $x, y$. Отсюда следует сразу и существование первых производных почти всюду, и равенство смешанных почти всюду.

Но этот результат, на мой взгляд, не слишком полезен для анализа, он востребован в теории вероятностей. Так что это я так, в копилочку.

[mihiv]

thething
Но ведь непрерывность $f_{xy}$ в точке $(0,0)$ означает, что она непрерывна и в некоторой ее окрестности (если не ошибаюсь), а отсюда уже следует непрерывность $f_{yx}$.

[mihaild]

mihiv в сообщении #1682475 писал(а):

Но ведь непрерывность $f_{xy}$ в точке $(0,0)$ означает, что она непрерывна и в некоторой ее окрестности (если не ошибаюсь), а отсюда уже следует непрерывность $f_{yx}$.

Вроде нет, пусть $f(x, y) = x \cdot \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n!} \left(y - \frac{1}{n}\right)^2 \sin\frac{1}{\left(y - \frac{1}{n}\right)^2}$ - в нуле $f_{xy}$ непрерывна, а в любой окрестности разрывна.

[thething]

mihaild
Вроде проще будет без квадрата под синусом.

[mihaild]

thething
Ну да, он там совсем лишний, с ним неправда получается.

[Alex Krylov]

https://math.stackexchange.com/questions/1391544/differentiable-but-not-continuously-differentiable