Новое ли и свойство ли это Пифагоровых Троек или пустышка?

[transcendent]

Речь пойдёт о том, что же это найдено такое-свойство ли это, и новое ли для Пифагоровых Троек (примитивных, пока)? "Свойство примитивных пифагорейских троек бесконечно воспроизводиться подобно трем цифрам меньших порядков в других примитивных пифагорейских тройках при других системах счисления." Для математиков это "нет проблем", $\mod n$ , когда они пишут Пифагорову Тройку так: $x=a \mod n$, $y=b \mod n$, $z=c \mod n$, где $n$ целое $>1$. При этом, естественно, что они имеют в виду следующие записи для соответствующей Пифагоровой Тройки: $x=An+a$, $y=Bn+b$, $z=Cn+c$, где $(A, B, C) $ > или равно 1, целые числа. То, о чём пойдёт речь ниже, использовалось нами не только для Пифагоровых Троек, поэтому, мы изначально выбрали иные обозначения: вместо $n$ мы применяли $p$, которое является не обязательно простым числом; вместо $A, B, C$ мы применяли $t_1, t_2, t_3$, соответственно. [Это вызвало жуткую критику со стороны одной из нероссийских математиков, но мы пренебрегли этой критикой, обосновывая это тем, что не должно быть путаницы с $m, n$ в параметрических уравнениях для Пифагоровых Троек, показанных/применяемых ДАЖЕ в англоязычной Википедии: https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple] Завершая такое краткое , типа, Введение, скажем , что применяя $\mod$ы (что естественно), мы дальше говорим только новых основаниях числовых систем счисления, в которых мы будем показывать соответствующие Пифагоровы Тройки, которые содержат какие-то исходные Пифагоровы тройки, как младшие цифры. Да...И покажем на примере "Кубических" Четвёрок, что они не следуют такому алгоритму, какой свойственен Пифагоровым Тройкам. При этом , мы держим в уме, что "Кубические" Четвёрки это такие числа, которые являются решения уравнения , вида $a^3+b^3+c^3=d^3$, -например, $3^3+4^3+5^3=6^3$. Больше таких четвёрок можно найти, например. здесь: https://www.researchgate.net/publication/242175197_On_the_solution_of_the_cubic_Pythagorean_Diophantine_equation_x3_y3_z3_a3
Всё то же, что и для "Кубических" четвёрок, видимо, можно сказать и для Пифагоровых Четвёрок , https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_quadruple-мы это видим, что называется, "на глаз", но , может, мы ошибаемся и кто-то сделает опровержение или строгое доказательство? (Хотя бы применяя , как образец доказательство для "Кубических" Четвёрок.)
С учётом сказанного выше, легко получить формулу для генерации новых Пифагоровых Троек: $p=2(ct_3-at_1-bt_2)/(t_1^2+t_2^2-t_3^2)$, $(1)$.
С одной стороны, мы имеем следующие Пифагоровы Тройки в числовой системе $10$ с совпадающими младшими цифрами- соответствующие цифры выделены жирным шрифтом (извинения, что они не показаны в math):
5, 12, 13;
15, 112, 113;
165, 52, 173;
и т.д., до бесконечности.
С другой стороны, мы имеем в числовой системе 16 сгенерированные Пифагоровы Тройки:
5, C, D, где$ C_{16}=12_{10}$, $D_{16}=13_{10}$;
15, DC, DD, или $21, 220, 221$ в числовой системе $10$;
25, 2AC, 2AD, или $37, 684, 685$ в числовой системе $10$;
и т.д., до бесконечности.
Очевидно, что возможны случаи, когда одна и та же Пифагорова Тройка может быть получена из двух различных Пифагоровых Троек.
Например, Тройка $21, 220, 221$ может быть получена из Троек $3, 4, 5$ и $5, 12, 13$, когда $p=18$ и $p=16$, соответственно.
Очевидно , что случаи $t_1=t_2=t_3=1$ и $t_1=t_2=t_3=N$, где $N$ любое натуральное число, невозможны, если мы пока ещё работаем при положительных $ p$. Эти утверждения легко доказуемы, если применить в формуле $(1)$, выше, формулу Евклида и мы получим $p=4n^2-4mn$, что при $m>n$ даёт отрицательные значения p, что есть нонсенс для нашего случая при $t_1=t_2=t_3=1$. Аналогичные результаты будут получены при $t_1=t_2=t_3=N$.
Вот, весь этот текст и выражает суть вопроса, поднятого в данной ветке-свойство это Пифагоровых троек или не свойство? Если свойство, то новое оно или "хорошо забытое старое"? Или и не забытое вовсе? Или, и не свойство, вовсе?
Для подкрепления правомерности вопроса приводим доказательство невозможности вышеописанного свойства в случае "Кубических" Четвёрок.

Теорема: Не существует «кубической» четверки с числами $x=pt_1+a$, $y=pt_2+b$, $z=pt_3+c$, $u=pt_4+d $ ни в одной числовой системе счисления с основанием $p>0$, если существует «кубическая» четверка $a, b, c, d $ в уравнении $a^3+b^3+c^3=d^3$, где $p$ — основание системы счисления, числа $a, b, c, d$ являются коэффициентами при $p^0$ в $p$-адических представлениях чисел $x, y, z, u $ и $t_i $> или равно 1, целые числа.
Доказательство ( с любезного дозволения читателей, мы приводим его на английском языке-потому что оно у нас есть на этом языке и не хотелось бы тратить силы на перевод туды-сюды, а вы и так поймёте, ведь, не так ли?):
1. Let's prove the theorem by contradiction and let we have $a^3+b^3+c^3-d^3=0 \mod p$ , then there is equation $x^3+y^3+z^3=u^3$.
2. We have $x^3=(pt_1+a)^3=p^3t_1^3+3p^2t_1^2a+3pt_1a^2+a^3$,
3. We have $y^3=(pt_2+b)^3=p^3t_2^3+3p^2t_2^2b+3pt_2b^2+b^3$,
4. We have $z^3=(pt_3+c)^3=p^3t_3^3+3p^2t_3^2c+3pt_3c^2+c^3$,
5. We have $u^3=(pt_4+d)^3=p^3t_4^3+3p^2t_4^2d+3pt_4d^2+d^3$.
6. Simplifying, we get an equation: $p^3(t_1^3+t_2^3+t_3^3)+3p^2(at_1^2+bt_2^2+ct_3^2)+3p(a^2t_1+b^2t_2+c^2t_3)=0 \mod t_4$ and then:
7. $p^2(t_1^3+t_2^3+t_3^3)+3p(at_1^2+bt_2^2+ct_3^2)+3(a^2t_1+b^2t_2+c^2t_3)=0$.
8. The resulting equation cannot give positive integer solutions, $|p|$. This contradicts the statement in p.1 and this proves the Theorem.
Q.E.D.
Нам было указано также, что теорема Декарта, https://en.wikipedia.org/wiki/Descartes%27_theorem , доказывает более общий случай.
Так же в этой связи , возможно, уместно будет упомянуть и это: https://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set

[transcendent]

За 2 месяца ни один эксперт не ответил на вопрос. Мы заранее знаем, что указанное свойство не существует для гипотетических Троек Ферма. Но, попытаемся это доказать почти элементарно для для случая $n=3$.
Лемма: Пусть взаимно простые целые x,y,z удовлетворяют уравнению ВТФ , при нечётном $n>2$, и a,b,c являются остатками mod p от x,y,z соответственно. Тогда для каждого нечетного целого числа m в области [3,2n-3] выполнено $a^{m}+b^{m}=c^{m} (\mod p)$.
Предварительные замечания:
1. В доказательстве Леммы ниже обозначения $a,b,c$ соответствуют остаткам по модулю $p$ (первым цифрам в младших порядках справа) для чисел $x$, $y$, $z$. Тогда, можно использовать обыкновенные равенства-без обозначения сравнений по модулю $p$.
2. То же самое-для чисел $х^{n}, у^{n}, z^{n} $.
3. То же самое-для $a^{k}, b^{k}, c^{k}$, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, для наименьших целых чётных чисел $k$, кратных $p$, и которые являются порядками элемента/ов $a$ (и $b$, и $c$) по модулю $p$, такими, что $a^{k}=1 (\mod p)$.
4. Доказательство считается выполненным, если получены уравнения: $a^{n}+b^{n}=c^{n}(\mod p)$, (1), $a^{n-k}+b^{n-k}=c^{n-k}(\mod p)$, (2), $a^{n+k}+b^{n+k}=c^{n+k}(\mod p)$, (3).
5. Аббревиатура "с/с" означает "система счисления".
Доказательство:
1. Если $x$ и $y$ являются нечётными числами, тогда $a=b$ в кольце $Z_{2}$;
(Эквивалентная формулировка: В любой с/с $a^{k}=b^{k}$, в соответствии с МТФ. Если использовать эту формулировку, тогда следующий пункт 2 может быть пропущен.)
2. Возведение в степень $k$ обоих чяастей уравнения в п. 1 даёт уравнение $a^{k}=b^{k}$.
3. Вычитание из левой части уравнения в п.2 правой части и возведение во вторую степень даёт уравнение $(a^{k}-b^{k})^{2}=0$.
4. Уравнение из п.3 переписано следующим образом: $a^{2\cdot k}-2\cdot a^{k}\cdot b^{k}+b^{2\cdot k}=0$.
5. Уравнение из п. 4 переписано так: $2\cdot a^{k}\cdot b^{k}=a^{2\cdot k}+b^{2\cdot k}$.
6. Уравнение из п. 5 переписано так: $2=(a^{2\cdot k}+b^{2\cdot k})/(a^{k}\cdot b^{k})$.
7. Уравнение из п. 6 переписано так: $2=(a/b)^{k}+(b/a)^{k^}$.
8. Уравнение из п. 7 переписано так: $2=b^{-k}\cdot a^{k}+a^{-k}\cdot b^{k}$.
9. Умножение обоих частей уравнения в п. 7 на $a^{n}\cdot b^{n}$ позволяет получить уравнение $2\cdot a^{n}\cdot b^{n}=b^{n-k}\cdot a^{n+k}+a^{n-k}\cdot b^{n+k}$.
10. Сумма $a^{2\cdot n}+b^{2\cdot n}$ прибавлена слева и справа уравнения из п. 9 и получено следующее уравнение: $a^{2\cdot n}+2\cdot a^{n}\cdot b^{n}+b^{2\cdot n}=a^{2\cdot n}+b^{n-k}\cdot a^{n+k}+a^{n-k}\cdot b^{n+k}+b^{2\cdot n}$.
11. Упрощение уравнения из п. 10 даёт следующее уравнение: $(a^{n}+b^{n})^{2}=(a^{n-k}+b^{n-k})(a^{n+k}+b^{n+k})$.
12. Левая часть уравнения п. 11 есть уравнение (1) в квадрате, правая часть уравнения g/ 11 есть произведение уравнений (2) и (3), что доказывает Лемму.
Q.E.D.
Полученное доказательство Леммы означает, что существует бесконечное количество гипотетических "Троек Ферма", которые имеют остатки $a$, $b$, $c$ по модулю $p$- цифры в младшей позиции.

Доказательство невозможности иметь одинаковые a, b, c в разных с/с для гипотететических "Троек Ферма" для случая $n=3$.
1. Пусть $x=p\cdot t_{1}+a$, $y=p\cdot t_{2}+b$, $ z=p\cdot t_{3}+c$ являются гипотетическими "Тройками Ферма", где $p$-основание с/с, $t_{i}$-часть числа, которая получается при делении на $p$ соответствующего числа, у которого вычтен соответствцующий остаток по модулю $p$.
2. $x^{3}=(p\cdot t_{1}+a)^{3}=p^{3}\cdot t_{1}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{1}^{2}\cdot a+ 3\cdot p\cdot t_{1}\cdot a^{2}+a^{3}$; $y^{3}=(p\cdot t_{2}+b)^{3}=p^{3}\cdot t_{2}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{2}^{2}\cdot b+ 3\cdot p\cdot t_{2}\cdot b^{2}+b^{3}$; $z^{3}=(p\cdot t_{3}+c)^{3}=p^{3}\cdot t_{3}^{3}+3\cdot p^{2}\cdot t_{3}^{2}\cdot c+ 3\cdot p\cdot t_{3}\cdot c^{2}+c^{3}$.
3. Сложение и вычитание соответствующиих уравнений из п.2 в соответствии с уравнением ВТФ и упрощение путём вынесения $p^{3}$, $p^{2}$ и $p$ за скобки в необходимых местах даёт следующее уравнение: $p^{3}\cdot (t_{1}^{3}+t_{2}^{3}-t_{3}^{3})+3\cdot p^{2}\cdot (t_{1}^{2}\cdot a+t_{2}^{2}\cdot b-t_{3}^{2}\cdot c)+3\cdot p\cdot (t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}-t_{3}\cdot c^{2})=0$.
4. Сокращение на $p$ обоих частей уравнения из п.2 позволяет получить следующее уравнение: $p^{2}\cdot (t_{1}^{3}+t_{2}^{3}-t_{3}^{3})+3\cdot p\cdot (t_{1}^{2}\cdot a+t_{2}^{2}\cdot b-t_{3}^{2}\cdot c)+3\cdot (t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}-t_{3}\cdot c^{2})=0$.
5. Уравнение из п. 4 может быть упрощённо записано так: $A\cdot p^{2}+B\cdot p+C=0$, где A, B, C определена в уравнение п. 4.
6. Чтобы иметь хотя бы один позитивный корень, $p$, необходимо иметь дискриминант , $D$, для уравнений в п.п. 4 и 5 выше $>0$, т.е. $D=B^{2}-4\cdot A\cdot C>0$.
7. Чтобы иметь дискриминант больше 0, $D >0$, необходимо иметь $B^{2}>4\cdot A\cdot C$.
8. Поскольку случаи $C>0$ и $C=0$ неприемлемы, чтобы иметь целые корни, p, рассмотрим сразу возможность существования случая $C<0$. Тогда $ t_{1}\cdot a^{2}+t_{2}\cdot b^{2}<t_{3}\cdot c^{2}$, откуда следует, что $p\cdot t_{1}\cdot a^{2}+p\cdot t_{2}\cdot b^{2}<p\cdot t_{3}\cdot c^{2}$, откуда следует, что $(x-a)\cdot a^{2}+(y-b)\cdot b^{2}<(z-c)\cdot c^{2}$.
9. Раскрыв скобки в последнем неравенстве п. 8, и сократив $a^{3}$, $b^{3}$, $c^{3}$ согласно условию Леммы $a^{3}+ b^{3}=c^{3}\mod p$, получено неравенство $ x\cdot a^{2}+y\cdot b^{2}<z\cdot c^{2}$, которое безальтернативно влечёт вывод , что $x=t_{1}=p\cdot t_{1}$, $y=t_{2}=p\cdot t_{2}$, $z=t_{3}=p\cdot t_{3}$, если сравнить с первым уравнением в п. 8 выше.
10. В случае неправильности/некорректности в деталях/сомнительности п.п.8, 9: $t_{3}$ не может быть меньше суммы$ t_{1}+t_{2}$, что сразу обеспечит аргументауией данное доказательство. И, тогда сразу от п. 7 переходим к данному п. 10 и далее-до конца доказательства.
11. Вывод в п.9 противоречит условиям Леммы и начальным условиям в п. 1 настоящего доказательства, что говорит в пользу того, что не существует каких-то значений $p$, которые позволяли бы повторяться гипотетическим "Тройкам Ферма" с одними и теми же остатками $\mod p$/цифрами в младшей позиции при значении степени $n=3$, как это характерно для Пифагоровых Троек.
12. Пункты 8-11 подразумевают, что не существует вообще гипотетических "Троек Ферма" при степени $n=3$.
Q.E.D.

[transcendent]

[quote="transcendent в [url=http://dxdy.ru/post1689804.html#p1689804]
3. То же самое-для $a^{k}, b^{k}, c^{k}$, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, для наименьших целых чётных чисел $k$, кратных p, и которые являются порядками элемента/ов $a$ (и $b$, и $c$) по модулю $p$, такими, что $a^{k}=1 (\mod p)$.
.
.
.
10. В случае неправильности/некорректности в деталях/сомнительности п.п.8, 9: $t_{3}$ не может быть меньше суммы $ t_{1}+t_{2}$, что сразу обеспечит аргументацией данное доказательство. [/b][/quote]
Правильно так:
1) 3. То же самое-для $a^{k}, b^{k}, c^{k}$, которые равны 1 согласно Малой Теореме Ферма, МТФ, для наименьших целых чётных чисел $k$, кратных p-1, и которые являются порядками элемента/ов $a$ (и $b$, и $c$) по модулю $p$, такими, что $a^{k}=1 (\mod p)$.
.
.
.
2) 10. В случае неправильности/некорректности в деталях/сомнительности п.п.8, 9: $t_{3}$ не может быть больше суммы $ t_{1}+t_{2}$, что сразу обеспечит аргументацией данное доказательство. [/b][/quote]