Уравнения Лагранжа

[drzewo]

Рассмотрим скалярное дифференциальное уравнение

$$\ddot x=f(t,x,\dot x).\qquad (*)$$

Функция $f$ голоморфна в точке $(t,x,\dot x)=(0,0,0)$ и принимает вещественные значения при вещественных $t,x,\dot x$. Доказать, что существует голоморфная в нуле функция Лагранжа $L(t,x,\dot x)$ такая, что

$$L_{\dot x\dot x}(0,0,0)\ne 0,$$

и функция $x(t)$ является решением уравнения (*) тогда и только тогда когда она является решением уравнения Лагранжа с лагранжианом $L$.
Имеется в виду, что $x(t)$ определена при малых $|t|$ и вектор $(t,x(t),\dot x(t))$ находится в области определения как $L$ так и $f$

[vicvolf]

Поскольку все функции голоморфны, а условия на коэффициенты разрешимы рекуррентно, по теореме Коши-Ковалевской существует голоморфная функция Лагранжа $ L $, удовлетворяющая условиям задачи. Условие $L_{\dot{x}\dot{x}}(0,0,0) \neq 0 $ обеспечивает невырожденность лагранжиана. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0 ... 0%BE%D0%B9

[drzewo]

Задача решена, как выяснилось у Больца коротко и красиво. Аналитичность не нужна. Достаточно $f\in C^2$