Максиминное расположение точек на сфере

[dgwuqtj]

Я с теорией чисел вообще плохо знаком, но по аналогии можно попробовать коэффициенты $(1{,}83929; 2{,}38298; 1)$. Это один из собственных векторов матрицы $3 \times 3$, полученной произведением всех 6 элементарных трансвекций $E + e_{ij}$ при $i \neq j$ в каком-то порядке.

-- 04.05.2025, 21:16 --

Или, как вариант, можно попробовать собственный вектор $(0{,}295598; 0{,}543689; 1)$ матрицы $\Bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{smallmatrix}\Bigr)$.

[B@R5uk]

Вот оптимальное решение задачи Таммеса для 12 точек (слева) — икосаэдр — и самое (предположительно) неоптимальное локально-оптимальное решение (справа) — шестиугольная антипризма:

А существует ли какие-нибудь другие локально-оптимальные решения для этих же 12 точек?

Я пытался стартануть с квадратной ячейки, в результате у меня получалось что-то вроде кубооктаэдра. Но эта фигура является седловой точкой задачи (то есть не является локально-оптимальной): если взять любую квадратную ячейку и начать её сплющивать вдоль диагонали, то все точки поплывут, расстояние между ними будет сразу расти, а в результате такого движения получится икосаэдр.

[B@R5uk]

Нарандомил таки! (И потом ещё парочку)

Используется синтаксис Text

Number of points:     12
Number of hard edges: 22
Minimal   distance:   0.946381744331735
Spherical distance:   56.4832462282324 deg
Coordinates:
   0.177290145704347   0.729774432367815   0.660301054139977
  -0.260639548037514   0.396237070495425  -0.880376743198050
  -0.301966518196539  -0.032070794229419   0.952778928212497
  -0.703211237313640  -0.626802005306090   0.335578905564821
   0.199358103199455   0.944491300490342  -0.261136994672869
  -0.062828887217139  -0.958795646052928  -0.277062159164699
   0.190491104528593  -0.765861293886776   0.614141366154040
   0.794041667683467  -0.600274692828135  -0.095750316618521
  -0.735521229001013  -0.362276068125074  -0.572507268209476
   0.763314412978075  -0.013196868492650   0.645892366886252
   0.329759702173601  -0.343402142388305  -0.879393829535721
   0.862402670471183   0.287378723506216  -0.416743450146622


Number of points:     12
Number of hard edges: 22
Minimal   distance:   0.944356346144913
Spherical distance:   56.3515592072473 deg
Coordinates:
   0.792828107819916  -0.575806171048887   0.199676851018618
   0.279884456402482   0.941705958241352  -0.186693811565957
  -0.754912287310938   0.129083035786601   0.642996896057114
   0.675760081029524   0.250085545521335  -0.693401422560026
  -0.264609273852678  -0.676820341388011   0.686946983161419
   0.422824313360127  -0.066706390250879   0.903753206097347
   0.041028288825196  -0.415130415376275  -0.908836298650972
  -0.225721209792173   0.488368961058214  -0.842938724537483
  -0.637137470248441   0.769669185824159  -0.040806720012679
  -0.029027996868475   0.731974726335908   0.680713137381142
   0.021613920139598  -0.987241478743329  -0.157756461372851
   0.907170150249136   0.361471147552754   0.215362317929241

Number of points:     12
Number of hard edges: 22
Minimal   distance:   0.944787588504551
Spherical distance:   56.3795908561295 deg
Coordinates:
   0.775162550491410   0.411842546429173   0.479070701740763
  -0.453187473452015  -0.136048733667709  -0.880972108510589
  -0.472794345831826  -0.659610458236908   0.584276946262603
  -0.968818840726522  -0.228931298017325  -0.094765577302207
   0.035086293872793   0.661907041199515  -0.748764329273754
   0.846580087832757   0.278574291579574  -0.453539986060789
  -0.714594523543634   0.677554199796843  -0.173997049570121
  -0.330366346435953  -0.887406641480916  -0.321508211089734
   0.410348347977647  -0.500526734294311  -0.762290772322929
  -0.697129667514467   0.254107000986279   0.670402758586902
   0.134966687079103  -0.060087413696073   0.989026539630868
  -0.037374077480997   0.892963910289894   0.448573999750573
 

Потом до меня допёрло, что такого рода решения можно искать как 13-точечные, где одна точка имеет нулевую валентность (нет жёстких рёбер, соединяющих её с остальным каркасом). Выкинув эту безвалентную точку, получим субоптимальное 12-точечное решение. Интересно, существует ли 12-точечное субоптимальное решение, которое нельзя получить таким образом?

-- 27.07.2025, 16:28 --

Интересно, так же, как много точек валентности ноль, может иметь произвольное локально-оптимальное решение? Например, существует 14-точечное решение с двумя точками валентности ноль. Оно представляет из себя шестиугольную антипризму на экваторе (правый рисунок в посте выше) с двумя 0-валентными точками на полюсах. Я подозреваю, что количество таких точек не может быть больше некоторой доли от общего числа точек. Но вопрос: как это всё взаимосвязано?

[B@R5uk]

Меня давно интересовал вопрос: а может ли быть так, что две или более точки валентности 0 находятся в локально-оптимальном решении рядом друг с другом. Наткнулся вот на реальный пример:

(КАРТИНКА)

Используется синтаксис Text

=============================================================
Number of points:     53
Number of hard edges: 98
Minimal   distance:   0.496991477821552
Spherical distance:   28.7770312145715 deg
Spherical distance:   0.502253943643456 rad
Distance cosine:      0.876499735486375
Coordinates:
  -0.069773549303067  -0.944041080776847   0.322363288268586
   0.114462344076251   0.796378865116726  -0.593867893545329
   0.732757584308091  -0.616028623525407   0.289093510194129
   0.490041553549772   0.044734992251378  -0.870550432923214
  -0.330347224100288   0.862923796238815  -0.382404541570868
   0.250928064315882   0.252449236672598   0.934507618718064
  -0.828035615943412   0.070871666047577  -0.556178231937259
   0.192309266610192  -0.240786193302249   0.951335458758299
  -0.952137822081338   0.279951757575066  -0.122721559608891
  -0.246046225493806   0.256578915247522   0.934680969727455
   0.053837611773995  -0.783916845455263  -0.618527195012429
  -0.651450931588156   0.758483497593332  -0.017733234660099
   0.421758578817734  -0.906145914862898   0.031926198817367
  -0.246159352008012  -0.463287525169210  -0.851334389321601
  -0.681694355825600   0.170671364429194   0.711452100003505
  -0.025071326858151  -0.984966057363481  -0.170918970308772
   0.844148415704052   0.505253102193042  -0.179256115624114
  -0.078634438479997  -0.620634340440579   0.780147191593243
  -0.456105651399919   0.092195094455675  -0.885137107638904
   0.890392174203090  -0.431598061054876  -0.144654380547449
  -0.969365305211705  -0.061779938007547   0.237727037401307
  -0.312507473264566   0.554215243936750  -0.771482042916052
  -0.701522848697380   0.542255658770952  -0.462411605916627
   0.726202953916255  -0.330641220546585  -0.602748416006853
  -0.830585020471606   0.449890751849488   0.328217664315139
   0.003482832025088  -0.059428611691934  -0.998226482314236
   0.839330203990202   0.146760531356321  -0.523436868309614
  -0.679113568542293  -0.399521993943707  -0.615781566285479
  -0.812821093931295  -0.555772805411675   0.174466208834747
  -0.355078452991410  -0.227498946295462   0.906732331868497
  -0.472892405247454   0.614521386924489   0.631455650122540
  -0.287397797916067   0.915346911918394   0.282032864387211
   0.485741488035821   0.585029726637229   0.649457793664466
   0.996924308096477   0.046889724436221  -0.062795522680009
   0.335881002856623  -0.766219607936977   0.547806046272706
   0.679609001027813   0.113857957040048   0.724684739276773
   0.601681959553426  -0.376566703373362   0.704397854524323
   0.635883609600089   0.744516747853394   0.203339241681895
   0.478952740484750   0.838857953113786  -0.258692108267525
  -0.415139745663247  -0.788331105248813  -0.454084859985268
  -0.939042729517751  -0.270385667424077  -0.212344868060162
   0.884228262960421   0.332474639875753   0.328025902668501
   0.910733515758231  -0.161048885651048   0.380299513154051
   0.144070965917106   0.407410990529446  -0.901809204641164
   0.511776503501911  -0.744178053549212  -0.429282931269186
   0.199511666981199   0.902858017260659   0.380844450407953
   0.549846850896114   0.532475735702561  -0.643535571237242
  -0.737256562729906  -0.310475698826399   0.600047999038363
   0.042037315032009   0.995804023714891  -0.081284749480658
   0.005653927980705   0.648451431029231   0.761235032492943
  -0.477050736995694  -0.722142417091458   0.500932055042569
   0.306538162506861  -0.425055135280064  -0.851682151332858
  -0.467723429793956  -0.883334599481513   0.030899491591510