Количество простых чисел-близнецов.

[Батороев]

Рассмотрим выражение для нечетных натуральных чисел $n>1$:

$$A=\dfrac{ 1\cdot 3 \cdot 5\cdot 7\cdot 9... (n-2)}{3 \cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11... n}=\dfrac {1}{n}\eqno (1)$$

Допустим, что $n =p_{t}$ - простое число не являющееся простым числом-близнецом, где $t$ - порядковый номер простого числа в ряду нечетных простых чисел.
В выражении (1) выделим выражение $B$ для простых чисел:

$$B=\dfrac {{\prod\limits_{i=1}^t (p_{i}-2) }} {\prod\limits_{i=1}^t (p_{i})}\eqno (2)$$

и выражение $C$ для составных чисел до $s_m=p_t+2$, где $m$ - порядковый номер составного числа в ряду нечетных составных чисел:

$$C =\dfrac {{\prod\limits_{j=1}^m (s_{j}-2)}} {\prod\limits_{j=1}^m (s_{j})}\eqno (3)$$

,
то можем переписать выражение (1) в виде:

$$A= B \cdot C=\dfrac {1} {p_{t}+2} \eqno {(4)} $$

Таким образом, выяснили, что функция $C\cdot (p_{t}+2)$ является обратнопропорциональной функцией относительно $B$.
При этом отметим, что

$$\dfrac {B}{2}=\dfrac { \varphi_{2} ( p_{t}\#)}{ p_{t}\#}\eqno (5)$$

, и соответственно:

$$\dfrac {\varphi_{2} (p_{t}\#)}{p_{t}\#}=\dfrac {1}{2\cdot C\cdot (p_{t}+2)} \eqno (6)$$

где $\varphi_{2}(p_{t}\#)$ - мультипликативная функция, значение которой равно увеличенному на $1$ количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих примориал $p_{t}\#$ и в которых оба числа взаимно простые с $p_{t}\#$ ("пары, взаимно простых с $p_{t}\#$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.
Для составления общей формулы функции $\varphi_{2}(p_{t}\#)$ разберемся с тем, как происходят переходы от примориалов от одного простого к примориалу следующего простого.
При таком переходе функция $\varphi_{2}(p_{t-1}\#)$ сначала увеличивается в $p_{t}$ раз, а затем из полученного вычитается число не взаимно простых пар, а именно $\varphi_{2}(p_{t-1}\#)$.
И получаем формулу:

$$\varphi_{2}(p_{t}\#)=p_{t}\#\cdot \left(1-\frac {1}{2}-\frac{2\cdot \varphi_{2}(2\#)}{3\#}-\frac {2\cdot \varphi_{2}(3\#)}{5\#}…-\frac{2\cdot \varphi_{2}(p_{t-1}\#)}{p_{t}\#}\right) \eqno(7)$$

или после преобразований:

$$\varphi_{2}(p_{t}\#)= 1\cdot (3-2)\cdot (5-2)\cdot...\cdot (p_{t-1}-2)\cdot (p_{t}-2)\eqno (8) $$

Такой переход сооответствует тому, что функция $\varphi_{2}(p_{t}\#)$ является мультипликативной.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

При этом отметим, что $\dfrac{B}{2}=\dfrac {\varphi (p_{t}#)}{p_{t}#}$,

Это неверно.

Например для $p_t=11: B=\dfrac{1\cdot3\cdot5\cdot9}{3\cdot5\cdot7\cdot11}=\dfrac{9}{7\cdot11} \ne \dfrac{2 \varphi(11)}{11}=\dfrac{20}{11}$.

Или для $p_t=97: B=\dfrac{79463052554013253125}{2074913629381666083841}\ne \dfrac{2\cdot\varphi(97)}{97}=\dfrac{192}{97}$.

Собственно это неверно для абсолютно всех простых $p_t$.

Когда же Вы наконец додумаетесь сами проверять свои формулы перед публикацией, хотя бы для небольших чисел ...

[Батороев]

Dmitriy40
Это всего лишь тестирование. И возможны опечатки, которые не заметны "замыленному взгляду".
Благодаря Вам, я поправил текст.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

При этом отметим, что

$$\dfrac{B}{2}=\dfrac {\varphi_{2} (p_{t}\#)}{p_{t}\#}\eqno (5)$$

Тут зависит от определения $\varphi_2(p)$, если её определять лишь для чисел $2<p,p-2$, то равенство будет неверным, она будет на 1 меньше, надо определять для чисел $0<p,p+2$ (включая и совсем не простое $p=1$!), при этом $p+2$ может стать и больше её аргумента. Либо добавлять в числитель единицу.

И каким боком это к простым близнецам ещё большой вопрос, ведь в $\varphi_2()$ не только они, но и другие числа, лишь взаимно простые с праймориалом. Не факт что здесь сработает предельный переход $p\to\infty$.

-- 31.03.2025, 12:06 --

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

При этом отметим, что

$$2B=\dfrac { \varphi_{2} ( p_{t}\#)}{ p_{t}\#}\eqno (5)$$

Это неверно, правильно было раньше, с $B/2$.
Возьмите уже калькулятор и перепроверяйте свои формулы!! Что в этом такого сверхсложного?!
Например для $p_t=13$: $B=9/91, \varphi_2(13\#)/13\#=1484/30030=106/2145$ (или $1485/30030=9/182$, как определите функцию).

[Батороев]

Dmitriy40
Да, не суетитесь Вы, пожалуйста, над проектом сообщения. Вот опубликую в какой-нибудь теме, тогда критикуйте.
А так, сам со своим подслеповатым взглядом маюсь над проектом.

[Dmitriy40]

Уж лучше здесь всё сразу поправить чем в очередном длиннющем "великом" доказательстве будут глупые ошибки в самом начале.
И повторюсь: обязательно приведите точное определение $\varphi_2()$ (и не словами! а точной формулой, хотя бы и только для праймориалов в аргументе, не так уж это сложно), каким бы очевидным и банальным оно вам не казалось, это важно! И проверьте на конкретных числах! От её определения зависит корректность дальнейших формул.

Наблюдение: если $p,p+2$ являются оба простыми (т.е. это простые близнецы), то в знаменателе $B$ останется лишь $p+2$, а $p$ сократится. Т.е. в знаменателе останутся все одиночные простые (которые не близнецы) и старшие числа близнецов, младшие же сократятся. А в числителе останется лишь $p-2$, которое составное (кратно 3). И вообще в числителе останутся лишь составные и одиночные простые, а все младшие из близнецов сократятся (а старших из близнецов там и появиться не может). Т.е. фактически сократятся лишь младшие числа близнецов.

-- 31.03.2025, 13:20 --

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

где $\varphi_{2}(p_{t}\#)$ - мультипликативная функция, значение которой равно количеству пар близнецов (натуральных чисел с разницей $2$), не превышающих примориал $p_{t}\#$ и в которых оба числа взаимно простые с $p_{t}\#$ ("пары, взаимно простых с $p_{t}\#$"). Для каждого простого числа $p$ функция $\varphi_{2}(p) = p-2$, кроме простого числа $2$, для которого $\varphi_{2}(2)=1$.

Оба числа $p_k,p_k+2$ не превышают $p_t\#$ или только меньшее из двух? Неясно.
Чему равно $\varphi_2(5\#)=\varphi_2(30)$? Двум или сколько? И если не двум, то почему? Ведь и 3 и 5 не взаимно просты с 30 и потому близнецы с ними не учитываются и остаются лишь $11,13$ и $17,19$, а $29,31$ отпадает потому что $31>30$.
И уж тем более $\varphi_2(3)=0\ne(3-2)=1$ потому что до $3\#=6$ нет ни одной пары простых близнецов, оба числа в которых были бы взаимно просты с $3\#=6$. Или всё же учитываете и пару $5,7$, в которой $7>6$?

Плохое определение, надо доработать до однозначного. И вот такое невнятное вы собрались выкладывать ...

-- 31.03.2025, 13:31 --

Уж лучше определите $\varphi_2()$ просто формулами:
$\begin{cases} \varphi_2(p_1 p_2)=\varphi_2(p_1)\varphi_2(p_2)\\ \varphi_2(p>2)=p-2\\ \varphi_2(2)=1\\ p,p_1,p_2 \in P \end{cases}$
Без всяких мудрствований про взаимную простоту и не превышение и простых близнецов. Потом просто укажете (и докажете!) что она совпадает с количеством простых близнецов (или чем там вам нужно) при неких условиях (которые ещё придётся хорошенько продумать и сформулировать).

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1680487 писал(а):

Уж лучше здесь всё сразу поправить чем в очередном длиннющем "великом" доказательстве будут глупые ошибки в самом начале.

Если речь идет о Вашей помощи, то соглашусь с Вами!.. с благодарностью.

Dmitriy40 в сообщении #1680487 писал(а):

И повторюсь: обязательно приведите точное определение $\varphi_2()$ (и не словами! а точной формулой, хотя бы и только для праймориалов в аргументе, не так уж это сложно), каким бы очевидным и банальным оно вам не казалось, это важно! И проверьте на конкретных числах! От её определения зависит корректность дальнейших формул.

Я еще 2021 году вводил эту функцию в теме и Вы тогда согласились с ее объективностью (ну разве, что с ее погрешностью $+1$).
Но и тогда и сейчас, не представляю, как ее называть. Тогда я ее называл "функцией Эйлера второго рода".

Dmitriy40 в сообщении #1680487 писал(а):

Наблюдение: если $p,p+2$ являются оба простыми (т.е. это простые близнецы), то в знаменателе $B$ останется лишь $p+2$, а $p$ сократится. Т.е. в знаменателе останутся все одиночные простые (которые не близнецы) и старшие числа близнецов, младшие же сократятся. А в числителе останется лишь $p-2$, которое составное (кратно 3). И вообще в числителе останутся лишь составные и одиночные простые, а все младшие из близнецов сократятся (а старших из близнецов там и появиться не может). Т.е. фактически сократятся лишь младшие числа близнецов.

Я в курсе этого и впследствии использую этот факт.

-- 31 мар 2025 17:53 --

Dmitriy40
Вы не учли то, что

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

$n =p_{t}$ - простое число не являющееся простым числом-близнецом

А функция $\varphi_{2}$ мультипликативная, поэтому считается, как $\varphi_{2}(7\#)=(2-1)(3-2)(5-2)(7-2)=15$

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1680491 писал(а):

Вы не учли то, что

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

$n =p_{t}$ - простое число не являющееся простым числом-близнецом

Учёл, я проверил Ваши формулы и для $p_t=23$ (только показывать не стал, числа больно большие), ничего не изменилось.

Батороев в сообщении #1680491 писал(а):

А функция $\varphi_{2}$ мультипликативная, поэтому считается, как $\varphi_{2}(7\#)=(2-1)(3-2)(5-2)(7-2)=15$

Эта формула как раз наиболее понятна (если исправить $(2-1)$ на просто $1$ из определения), а вот её связь с взаимно простыми с праймориалами и простыми близнецами и чем там ещё - как раз туманна. То что Вы её ввели где-то там раньше - ну и что, там тоже так же непонятно. А я тогда может просто не обратил внимания, это вовсе не значит что она там хорошо определена. Потому и предлагаю вводить её именно такой формулой. А свойства доказывать отдельно (или сослаться где они уже доказаны, само собой, но только где и правда доказаны, а не на словах что-то высказано, очень уж у Вас двусмысленно выходит словами). Я например так и не понял как получается $\varphi_2(5\#)=1\cdot(3-2)\cdot(5-2)=3$, какую именно третью пару близнецов взаимно простых с 30 вы учитываете к двум явным 11,13 и 17,19, я не вижу до 30 такой третьей пары.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

то можем переписать выражение (1) в виде:

$$A= B \cdot C= {p_{t}+2} \eqno {(4)} $$

Это уже совсем чушь, $A$ у Вас было равно $\frac{1}{p_t}$, что ну никак не может равняться $p_t+2$.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1680514 писал(а):

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

то можем переписать выражение (1) в виде:

$$A= B \cdot C= {p_{t}+2} \eqno {(4)} $$

Это уже совсем чушь, $A$ у Вас было равно $\frac{1}{p_t}$, что ну никак не может равняться $p_t+2$.

Я писал, что: $A=\frac{1}{n}$
В данном рассмотрении: $n=p_{t}+2=s_{m}$ (в тексте все поправлю).

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1680504 писал(а):

Я например так и не понял как получается $\varphi_2(5\#)=1\cdot(3-2)\cdot(5-2)=3$, какую именно третью пару близнецов взаимно простых с 30 вы учитываете к двум явным 11,13 и 17,19, я не вижу до 30 такой третьей пары.

У функции $\varphi(p_{i}\#)$ есть погрешность $(+1)$, которая возникает из-за того, что учитывает пару чисел $1$ и $(p\# - 1)$. Избавиться от этой пары нельзя, т.к. она участвует на стыках, например, для указанного Вами примориала при переходе к следующему примориалу $7\#$ на стыках имеются взаимнопростые $3$ и $5$ пары чисел $29'31; 59'61;89'91$ и т.д.
Приходится "мириться" с этой погрешностью, т.к. она имеется во всех $\varphi _{2}(p_{i}\#)$.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1680565 писал(а):

Приходится "мириться" с этой погрешностью, т.к. она имеется во всех $\varphi _{2}(p_{i}\#)$.

Так это не погрешность, а просто такое у неё свойство, что она всегда на 1 больше чем взаимно простых с праймориалом пар.

Но тогда эта формула

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

При этом отметим, что

$$\dfrac {B}{2}=\dfrac { \varphi_{2} ( p_{t}\#)}{ p_{t}\#}\eqno (5)$$

верна исключительно если определите $\varphi_2()$ как произведение, но не как количество взаимно простых с прайморилаом пар! Про что я и говорил выше, необходимо явно привести определение $\varphi_2()$! Иначе может потребоваться добавить в правый числитель +1, что испортит красоту дальнейших преобразований (или сделает их некорректными). Никаких слов про некую "погрешность" в определении быть не должно. Либо $\varphi_2()$ это произведение чисел, либо это количество взаимно простых с праймориалом пар - и это совершенно разные вещи!! И второе уже не будет мультипликативной функцией и все ваши выкладки посыплются. Либо тогда говорить что $\varphi_2()$ это увеличенное на 1 количество взаимно простых с прайморилаом пар. И выделенное жирным принципиально! Это не погрешность, а другое определение функции! Погрешности в физике, в математике должно быть строго.

Плюс к тому же $\varphi_2()$ сильно не совпадает с $\pi_2()$ (точным количество простых близнецов) - потому что не все взаимно простые с праймориалом пары являются простыми близнецами, лишь некоторые. Смотрите:
$p[]=[3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37]$
$\varphi_2(p[]\#)=[1, 3, 15, 135, 1485, 22275, 378675, 7952175, 214708725, 6226553025, 217929355875]$ (A059861 - кстати вот значения вашей $\varphi_2()$ от праймориалов (и они сами A002110), аж до сотни первых простых)
$\pi_2(p[]\#)=[1, 4, 15, 69, 468, 4636, 57453, 896062, 18463713, 425177757, 11997649372]$ (A000882)
Видите, простых близнецов существенно меньше чем взаимно простых с праймориалом - и не просто меньше, а даже и доля всё уменьшается, потому совсем не факт что она не уменьшается достаточно быстро для сходимости ряда сумм и конечности общего количества. Соответственно даже доказав что взаимно простых бесконечно много (что несложно, достаточно показать что $\varphi_2()$ как произведение $(p-2)$ именно им и равна за вычетом 1) Вы не докажете что и простых близнецов тоже бесконечно! Во всяком случае я не вижу как это связать.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1680589 писал(а):

увеличенное на 1

Я записал, как Вы советовали.

Dmitriy40 в сообщении #1680589 писал(а):

Плюс к тому же $\varphi_2()$ сильно не совпадает с $\pi_2()$

Я еще не подошел к этому.

-- 02 апр 2025 14:57 --

Dmitriy40 в сообщении #1680589 писал(а):

кстати вот значения вашей $\varphi_2()$ от праймориалов (и они сами A002110
), аж до сотни первых простых)

Я сосчитал до простых, не превосходящих $700$. Дальше Excel не позволил.
Ведь формула простая.

[Dmitriy40]

Батороев в сообщении #1680461 писал(а):

или после преобразований:

$$\varphi_{2}(p_{t}\#)=1\cdot 1\cdot (3-2)\cdot (5-2)\cdot...\cdot (p_{t-1}-2)\cdot (p_{t}-2)\eqno (8) $$

По моему лишняя единица (число 1 не простое и не составное и $\varphi_2(1)$ не определена, хотя возможно и стоило бы).

(7) и переход (7)->(8) проверять не стал, мне достаточно что сама (8) правильна.

В остальном у меня замечаний пока больше нет.

[Батороев]

Dmitriy40 в сообщении #1680737 писал(а):

о моему лишняя единица (число 1 не простое и не составное и $\varphi_2(1)$ не определена, хотя возможно и стоило бы).

Поправиил. Спасибо, не углядел.