Уравнение наклонного эллипса, вписанного в прямоугольник

[asdo]

Привет всем знатокам математики! Есть чисто прикладная задача. Дан прямоугольник с центром в начале координат со стороной А, параллельной оси Х, и стороной В, параллельной оси Y. В данный прямоугольник вписан в общем случае наклонный эллипс с большой осью a и малой осью b. Из начала координат выпущено два луча, первый из которых пересекает эллипс в точке касания последним правой стороны прямоугольника, то есть в точке $(max_x, y1)$, второй луч пересекает эллипс в точке касания верхней стороны прямоугольника, то есть в точке $(x2, max_y)$. Известен угол между лучами $\theta= t2-t1$, где $t1,t2$ - соответствующие углы с осью абсцисс. Требуется в любом виде получить уравнение кривой, описывающей данный эллипс.





Интуитивно почему-то понятно, что эллипс при таких кондициях можно вписать только единственный. При угле наклона главной оси эллипса с осью абсцисс $\varphi = 0$, очевидно, $a=A$ и $b=B$, то есть классический случай вписанного в прямоугольник эллипса. При $\tg(\varphi )=B/A$ (главная ось эллипса лежит на диагонали прямоугольника) a=sqrt(A^2+B^2) и $b=0$, то есть эллипс вырождается в линию. Зависимость $b(\varphi)$ и $a(\varphi)$ внутри этих интервалов углов мне осилить уже не удалось. Пробовал вручную построить набор эллипсов, насобирать точек и отловить аппроксимационно функциональную зависимость как $b(\varphi)$ и $a(\varphi)$, так и $\varphi(\theta)$ при различных $B/A$. Получается что-то нелинейное и не очень внятное...

Задача имеет инженерное значение. "В железе" будет рождаться набор {$A,B,\theta$}, и по нему нужно будет на ЭВМ воссоздавать с некоторой точностью эллипс, этому набору удовлетворяющий. Причем весьма быстро и интерактивно. Поэтому строго аналитического решения и требуется. Хотя и интересно полюбопытствовать, существует ли оно вообще. Просто в данный момент даже численными методами алгоритм на ум не приходит. Если ничего лучше придумать не удастся, придется табличным способом насобирать врукопашную больше точек и на месте интерполировать кусочно-линейно или сплайнами. Чего, конечно, не хотелось бы, ибо не красиво и муторно. Буду рад совету

[drzewo]

С этой задачей не должно быть больших проблем, просто формулы громоздкие.
Уравнение эллипса с центром в нуле следующее:

$$ax^2+2bxy+cy^2=1,\quad a>0,\quad ac-b^2>0$$

ну а дальше надо все условия прописывать, какие в задаче есть. Мне лень, я не булу:)

-- 29.03.2025, 00:19 --

Потом подставляем туда уравнения стенок этой коробки: $x=\pm X,\quad y=\pm Y$. Получатся 4 квадратных уравнения. Надо написать условие того, что у каждого уравнения корень единственный ну и т.д

[asdo]

drzewo Спасибо за ответ!

Цитата:

дальше надо все условия прописывать

В этом то вся и сложность . Если мы берем каноническое уравнение эллипса, умножаем его на матрицу поворота с параметром $\varphi$, то получаем просто повернутый эллипс с сохранением значений большой и малой осей. Однако эллипс при повороте должен сжиматься. Как наложить условия на коэффициенты уравнения, чтобы учитывалось это сжатие - не могу сообразить. Почему-то на ум приходит найти точки экстремумов в декартовой сис-ме, (т.к. они и являются точками касания) и через них уже наложить условия на коэф-ты $a$ и $c$ по габаритам прямоугольника. Или это меня не в ту степь?

Проблема еще ведь и в том, что сами точки касания заданы не явно, а очень специфически. Два вектора с углом между ними... Сами вектора не определены. Зависимость $\varphi(\theta)$ вообще не понятна. Но это отдельная история, сейчас хотя бы эллипс правильно вписать

[drzewo]

asdo в сообщении #1680303 писал(а):

Если мы берем каноническое уравнение эллипса, умножаем его на матрицу поворота с параметром $\varphi$, то получаем просто повернутый эллипс с сохранением значений большой и малой осей. Однако эллипс при повороте должен сжиматься.

А, ведь я Вам уже все написал, а Вы не слушаете.
Точка пересечения эллипса с верхней стороной прямоугольника $y=Y>0$ имеет координаты $(x_0,Y)$; величина $x_0$ находится из уравнения (подставляем $y=Y$ в уравнение эллипса):

$$ax^2+2bxY+cY^2=1$$

Это квадратное уравнение на $x$ и оно должно иметь 1 корень:

$$D=4b^2Y^2-4a(cY^2-1)=0$$

-- это первое уравнение на коэффициенты эллипса $a,b,c$.
Этот корень равен
$$x_0=-\frac{bY}{a}>0,\quad b<0$

[asdo]

Цитата:

$$D=4b^2Y^2-4a(cY^2-1)=0$$

Спасибо!

[drzewo]

Аналогично точка пересечения эллипса с правой боковой стенкой имеет координаты

$$(X,y_0),\quad y_0=-\frac{bX}{c},\quad X>0$$

и

$$X^2(b^2-ac)+c=0$$

-- это второе уравнение на $a,b,c$.
Пусть $u=(X,y_0),\quad v=(x_0,Y)$ -- радиус-векторы точек касания эллипса и прямоугольника

$$(u,v)=Xx_0+Yy_0=\sqrt{X^2+y_0^2}{\sqrt{x_0^2+Y^2}\cos\theta$$

-- это третье уравнение

[asdo]

Да, да. Дальше уже увидел все. Спасибо еще раз огромное, очень помогли

[dgwuqtj]

В качестве третьего уравнения удобнее брать $\tg \theta = \frac{u \times v}{u \cdot v}$.

[Евгений Машеров]

Я бы решал, исходя не из пересечений, а из касаний. И такой вопрос - A, B, a, b заданы? Или какие-то надо оценивать по данным? Если заданы - возможно, решения нет.