2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Виленкин, 8 класс, симметрические многочлены
Сообщение28.03.2025, 06:56 


28/03/25
1
Всем привет! В учебнике Виленкина столкнулся с заковыристой задачей, из раздела симметрических многочленов.

Нужно доказать, что если справедливо $a^3+b^3+c^3=(b+c)(a+c)(a+b)$ и $(b^2+c^2-a^2)x=(c^2+a^2-b^2)y=(a^2+b^2-c^2)z$ то верно $x^3+y^3+z^3=(x+y)(x+z)(y+z)$
Как только не преобразовывал я эти выражения, используя элементарные симметрические многочлены или просто так, строго доказать никак не получается. Причём понятно, что либо a+b+c=0, либо какое-то из этих выражений равно нулю.
А может в условии задачи опечатка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Виленкин, 8 класс, симметрические многочлены
Сообщение28.03.2025, 10:08 


14/01/11
3139
Проверил с помощью CAS, условие задачи корректно. Как такое доказывать, пока не могу сказать. Можно попробовать ввести какое-нибудь обозначение для выражений из двойного равенства и путём различных комбинаций попытаться вывести соотношения между симметрическими многочленами для $a,b,c$ и $x,y,z$.

-- Пт мар 28, 2025 10:09:51 --

Extima в сообщении #1680203 писал(а):
Причём понятно, что либо a+b+c=0, либо какое-то из этих выражений равно нулю.

А вот это вовсе не обязательно. $a, b, c$ могут быть какими угодно, просто $x, y, z$ связаны с ними определённым образом.

 Профиль  
                  
 
 Re: Виленкин, 8 класс, симметрические многочлены
Сообщение28.03.2025, 10:15 
Заслуженный участник


07/08/23
1408
При $a = b = c = 0$ это всё-таки неверно. А в случае общего положения если не будет других идей, то можно просто домножить обе части требуемого равенства на $(b^2 + c^2 - a^2)^3 (c^2 + a^2 - b^2)^3$ и избавиться от $x$ и $y$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Виленкин, 8 класс, симметрические многочлены
Сообщение29.03.2025, 08:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
611
so dna
Extima в сообщении #1680203 писал(а):
Нужно доказать, что если справедливо $a^3+b^3+c^3=(b+c)(a+c)(a+b)$ и $(b^2+c^2-a^2)x=(c^2+a^2-b^2)y=(a^2+b^2-c^2)z$ то верно $x^3+y^3+z^3=(x+y)(x+z)(y+z)$

$x^3+y^3+z^3=(x+y)(x+z)(y+z)\quad\Leftrightarrow$

$\left(1+\dfrac{x}{y+z}\right)\left(1+\dfrac{y}{z+x}\right)\left(1+\dfrac{z}{x+y}\right)=4$

Теперь можно выразить $\dfrac{x}{y},\dfrac{y}{z},\dfrac{z}{x}$ через $a,b,c.$ Тогда достаточно доказать, что

$-(-a+b+c)^3(a-b+c)^3(a+b-c)^3(a+b+c)^3 + 32a^2b^2c^2\left(-a^2+b^2+c^2\right)\left(a^2-b^2+c^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)$

делится на $a^3+b^3+c^3-(a+b)(b+c)(c+a)$

Обозначим $\sigma_1=a+b+c,\quad\sigma_2=(a+b)(b+c)(c+a),\quad\sigma_3=abc,$ тогда достаточно доказать, что

$\left(\left(\sigma_1^3-4\sigma_2\right)+4\sigma_3\right)^3\sigma_1^3 - 32\sigma_3^2\left(\sigma_1^6 - 6\sigma_1^3\sigma_2+8\sigma_2^2+2\sigma_3\sigma_1^3\right)$

делится на $\sigma_1^3-4\sigma_2,$ что легко сделать, поскольку

$64\sigma_3^3\sigma_1^3 - 32\sigma_3^2\left(\sigma_1^6 - 6\sigma_1^3\sigma_2+8\sigma_2^2+2\sigma_3\sigma_1^3\right)=32\left(\sigma_1^3-4\sigma_2\right)\left(2\sigma_2-\sigma_1^3\right)\sigma_3^2$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group