Связь между матрицами операторов и матрицей билинейной формы

[AntonioVivaldi]

Найти связь между матрицами $A, B, G$ линейных операторов $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ и билинейной (полуторалинейной) функции $g$ в некотором базисе пространства и матрицей $F$ билинейной (полуторалинейной) функции

$$ f(x, y)=g(\mathcal{A}(x), \mathcal{B}(y)) $$

Задачку пока что мало крутила, но может есть теорема об этом? Может кто-то знает, где это можно посмотреть

[artempalkin]

AntonioVivaldi
А что тут крутить-то особо? :)
Как выразить действие оператора на вектор через матрицу и столбец - известно.
Как записать действие билинейной формы на две вектора через матрицу и два столбца - известно.

А теорема... разве что следующая: Если $x^TAy=x^TBy$ для любых столбцов $x, y$, то $A=B$ (даже тогда и только тогда так-то). Хорошая и важная теорема, можно ее доказать.

[AntonioVivaldi]

artempalkin
Спасибо!!

-- 20.03.2025, 03:40 --

artempalkin

$$\begin{aligned} & f(x, y)=g(A(x), B(y)), g(x, y)=x^{\top} G y \\ & x^{\prime}=A x, y^{\prime}=B y\rightarrow f(x, y)=(A x)^{\top} G(B y)=x^{\top}\left(A^{\top} \ G B\right) y \end{aligned}$$

-- 20.03.2025, 03:45 --

artempalkin
Последняя теорема знакома

Но честно не знаю, как её здесь использовать.

Нет симметрии, и неясно, откуда две матрицы разные взять

[Combat Zone]

AntonioVivaldi в сообщении #1679221 писал(а):

Нет симметрии, и неясно, откуда две матрицы разные взять

При чем тут симметрия, левую часть запишите. А потом думайте.

[artempalkin]

Combat Zone в сообщении #1679224 писал(а):

При чем тут симметрия, левую часть запишите. А потом думайте.

Левую в смысле вот эту - в матричной форме

Цитата:

$f(x,y)$

и на забудьте, что расписываете тождество, верное для любой пары векторов