Плотностная гипотеза в теории Дзета-функции Римана и другие

[Skipper]

Возникло желание, подробнее сравнить разные гипотезы в теории Дзета-Функции Римана, что из чего
может следовать, и в чём отличаются оценки.
Выделим несколько утверждений (доказанных и недоказанных) о распределении нулей дзета-функции Римана.
Будем называть утверждение "теоремой" если оно доказано, и "гипотезой", если не доказано.
Рассматриваю по мере усиления, то есть чем ниже, тем утверждения математически более сильные,
или кажется, более сильные, (но это не доказано, значит вообще говоря независимые друг от друга).
Определим сначала, две важные функции.

Обозначим функцией $N(\sigma , T )$ - число нетривиальных нулей
Дзета-функции Римана, $\sigma \geqslant 1/2 $ , $T > 0$ ,
с аргументами в комплексной плоскости в критической полосе, ниже прямой с мнимой
частью $T$ и действительной частью, правее чем сигма, то есть для всех аргументов
$ t+i \beta$ , где $t < T$ , и $ \beta > \sigma $ .
Таким образом, $N(\sigma , T )$ , при $\sigma = 1/2$ , равно общему количеству
нулей Дзета-функции Римана, которые не лежат на критической прямой, и если доказать
что это равно нулю, то получится Гипотеза Римана,

А также, обозначим функцией $N(T )$ - число всех нетривиальных нулей
Дзета-функции Римана, точнее нулей, правее критической прямой и тех которые на критической прямой,
(а тех которые левее можно не рассматривать, так как если нули есть правее критической прямой,
то дублируются на той же высоте такими же, левее критической прямой), функция
$N(T )$ - это $N( \frac{1}{2} , T )$ плюс число нулей лежащих на критической
прямой ниже высоты $T$.

Определим также, $C$ - определенная константа, $O$ - "О большое" - означает "рост не больше чем",
$\Theta$ - рост "не больше чем, и не меньше чем..", то есть "асимптотически стремится к...",

----------------------------------------

1) BT. Базовая теорема о распределении всех нулей Дзета-функции Римана (base theorem - BT).
Не знаю, кто её впервые доказал, но это утверждение легко можно найти, например в книге Титчмарша,
"Теория Дзета-функции Римана", на страницах 212, или 229. Это суть, утверждение :

$N(T) \sim C \cdot T \ln T = \Theta (T \ln T)$ ,

----------------------------------------

2) FT. Фундаментальная теорема о распределении нулей Дзета-функции Римана,
лежащих правее прямой с фиксированной действительной частью большей $1/2$ (fundamental theorem - FT).
Приводится в книге Титчмарша "Теория Дзета-функции Римана", на странице 230, а Титчмарш ссылается
на Бора, Ландау и Литтлвуда, так что я не стал искать, кто её впервые доказал,
теорема доказывает суть, утверждение :

для любого (сколь угодно близкого к $1/2$, но) фиксированного $\sigma > 1/2$ ,
$N(\sigma, T) = O (T)$ ,

Уже здесь, если бы это утверждение доказали и для сигма равного $1/2$, то тем самым
было бы доказано, что "почти все нули Дзета-функции лежат на критической прямой"-
гипотеза, рассмотренная ниже, 5-й по счёту. В самом деле, количество всех нулей исходя из BT,
асимптотически стремится к константа умноженная на $T \ln T $ , а при $T$ стремящемся
к бесконечности, это в бесконечное число раз станет больше чем само $T$ .
Но как видим, это замечательное утверждение доказали только для фиксированного $\sigma > 1/2$ ,
значит, почти все нули лежат левее любой сколь угодно близкой к критической, прямой).

----------------------------------------

3) DH. Плотностная гипотеза (Ингама) в теории Дзета-Функции Римана,
и её ослабленный вариант. (она так на англоязычных ресурсах и имеет
аббревиатуру, (это уже не я предлагаю)- "density hypothesis" - DH).
Насколько я понял, DH можно немного ослабив, переформулировать вот так :

для любого (сколь угодно близкого к $1/2$, но) фиксированного $\sigma > 1/2$ ,
$N(\sigma, T) = O (T ^ {1 - \varepsilon })$ ,

Доказательство. (не самой гипотезы, а то что переформулировка следует из стандартного определения). Вот тут,
https://mathoverflow.net/questions/4315 ... hypothesis
приводится стандартная формулировка обычной (или другими словами, стандартной, "слабой"), плотностной гипотезы DH,
для любого $\varepsilon > 0$ , верно $N(\sigma, T) = O (T ^ {2 \cdot (1 - \sigma) + \varepsilon })$ ,
значит, 1) существуют такие сигма, для которых показатель степени $T$
будет больше $1$ , и меньше $1$ .
2) второе, и это главное, что подбирая необходимое $\varepsilon > 0$ , мы получим
оценку, в которой показатель степени $T$ будет меньше $1$, для необходимого нам сигма.
Возьмём например, $\varepsilon = 0.01$ . Тогда показатель степени равен,
$2 \cdot (1 - \sigma) + \varepsilon = ( 2 - 2 \cdot \sigma + \varepsilon ) = ( 2 - 2 \cdot \sigma + 0.01 ) $,
и это будет меньше $1$, при сигма больше чем $0.505$ . Если нас интересует сигма, ещё меньше, допустим,
$0.504$ , тогда выберем просто эпсилон , ещё меньшее, например
$\varepsilon = 0.001$ . Тогда показатель степени равен,
$2 \cdot (1 - \sigma) + \varepsilon = ( 2 - 2 \cdot \sigma + \varepsilon ) = ( 2 - 2 \cdot \sigma + 0.001 ) $,
и опять же, для нового сигма получили степень меньше $1$.
Для сигма равного точно $0.5$ степень не становится меньше $1$, поэтому,
утверждение "почти все нули Дзета-функции лежат на критической прямой"- остаётся недоказанным,
но поскольку для любого другого $\sigma > 0.5$ , мы можем получить
показатель степени для $T$, меньше $1$ , то мы тем самым можем
упростить запись и избавиться от сигма в степени, тем самым может и выведя более слабое чем
плотностная гипотеза утверждение, но с "другим" эпсилон, и утверждением более понятным,
и очевидно, более сильным, чем выше в теореме FT .
И стоит отметить, что это, ещё более слабое утверждение из плотностной гипотезы, несмотря на то, что кажется,
только немного сильнее чем FT , вроде, остаётся недоказанным.
(по крайней мере, я доказательства не видел).

----------------------------------------

4) LH. Линделёфа гипотеза. Из этой гипотезы следует плотностная гипотеза DH, но обратное нет.
Гипотезу Линделёфа можно переформулировать, так.

для любого (сколь угодно близкого к $1/2$, но) фиксированного $\sigma > 1/2$ ,
$N(\sigma, T) = O (T ^ {1 - \varepsilon })$ , т.к. доказано что из LH следует DH, и к тому же,
$N(\sigma, T + 1) - N(\sigma, T) = o (\ln T)$ ,

Доказательство второго соотношения, приведено например, в книге Титчмарша "Теория дзета-функции Римана"
на странице 327, поэтому просто, даёт вторую (эквивалентную) формулировку Гипотезы Линделёфа.
Но как из него улучшить оценку для $N(\sigma, T)$ , не видно. (первое утверждение выше, приведено,
только потому что доказано что из Гипотезы Линделёфа следует Плотностная гипотеза).
Но попытка вывести оценку, из,
$N(\sigma, T + 1) - N(\sigma, T) = o (\ln T)$ , ничего не улучшает.
Тогда, $N(\sigma, T) $ , имеет $T$ таких промежутков,
другими словами, прямоугольников на комплексной плоскости. С другой стороны, согласно
доказанной FT , плотность нулей с фиксированным $\sigma > 1/2$ , не растёт в каждом таком
прямоугольнике, так как общее их число $O(T)$ .
Следовательно $N(\sigma, T) = O(T) \cdot o (\ln T) = o(T \cdot \ln T) $ ,
(см. правила для $O(f) \cdot o(g) = o(fg)$
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%ABO%C ... 0%BE%D0%B5
), но это же следует и из плотностной гипотезы, $N(\sigma, T) = O (T ^ {1 - \varepsilon })$ ,
и ничем не сильнее его.

----------------------------------------

5) AH. Гипотеза о почти всех нулях дзета-функции. (AH- "almost all" zero hypothesis).
"Почти все нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой", что суть, эквивалентное утверждение,

для любого $\sigma \geqslant 1/2$ ,
$N(\sigma, T) = o(T \cdot \ln T) $ ,

Утверждение с одной стороны, асимптотически, ещё более слабое чем выше, даже для пункта 2, то есть FT.
Но с другой стороны, оно сильнее всех гипотез выше, включая плотностную гипотезу, и гипотезу Линделёфа,
так как расширено для сигма, не только больше чем $1/2$, а и для сигма равного $1/2$ .
Поэтому, оно кажется, сильнее всех выше гипотез. (Хотя это и не доказано, связи нет. Может оказаться и наоборот,
то есть даже если докажут эту гипотезу AH, то всё равно и гипотеза Линделёфа
и даже плотностная гипотеза могут оставаться далее недоказанными).
Эта гипотеза ограничивает число нулей, вблизи критической прямой с действительной частью,
стремящейся к $1/2$, но больше её.

----------------------------------------

6) EZH. Эпсилон-дзета гипотеза. (epsilon-zeta).

Утверждение что существует $\varepsilon > 0$, такое что нет нулей дзета-функции,
с действительной частью больше чем $(1 - \varepsilon)$.

Эта гипотеза ограничивает число нулей, на критической полосе, с действительной частью,
стремящейся к $1$, но меньше её.
Причём, очень жёстко так, ограничивает, предполагая что их и вовсе нет, правее какой то прямой.
Поэтому, эта гипотеза кажется сильнее всех гипотез выше, тем более, если её докажут,
то лучшей станет оценка остаточного члена для функции распределения простых чисел.
Представляется весьма вероятным, что эта гипотеза будет доказана одновременно
(другими словами "совместно"), с гипотезой о том, что лишь конечное число нулей дзета-функции
может не лежать на критической прямой. Последняя очевидно, самая сильная, из неё
уже следует и эпсилон-дзета гипотеза, и AH и Линделёфа и т.д..

[vicvolf]

Skipper В основном верно, но есть некоторые замечания.

[Skipper]

Интересно. Можно тут что-то улучшить в описании гипотез?

[vicvolf]

Skipper в сообщении #1678859 писал(а):

$\Theta$ - рост "не больше чем, и не меньше чем..", то есть "асимптотически стремится к...",

Нет такого " асимптотически стремится к...", есть асимптотическая эквивалентность - $f(x)\sim g(x)$ при $x \to \infty$, если $\lim_{x \to \infty} \frac {f(x)}{g(x)}=1$. Однако, $\Theta$ - означает не $\sim$, а это значит, что существуют такие $C_1>0,C_2>0$, что при $x \to \infty$ выполняется $C_1|g(x)| \leq |f(x)| \leq C_2|g(x)|$.

-- 19.03.2025, 18:17 --

Skipper в сообщении #1678859 писал(а):

4) LH. Линделёфа гипотеза. Из этой гипотезы следует плотностная гипотеза DH, но обратное нет.
Гипотезу Линделёфа можно переформулировать, так.

для любого (сколь угодно близкого к $1/2$, но) фиксированного $\sigma > 1/2$ ,
$N(\sigma, T) = O (T ^ {1 - \varepsilon })$ , т.к. доказано что из LH следует DH, и к тому же,
$N(\sigma, T + 1) - N(\sigma, T) = o (\ln T)$ ,

Доказательство второго соотношения, приведено например, в книге Титчмарша "Теория дзета-функции Римана"
на странице 327, поэтому просто, даёт вторую (эквивалентную) формулировку Гипотезы Линделёфа.
Но как из него улучшить оценку для $N(\sigma, T)$ , не видно. (первое утверждение выше, приведено,
только потому что доказано что из Гипотезы Линделёфа следует Плотностная гипотеза).
Но попытка вывести оценку, из,
$N(\sigma, T + 1) - N(\sigma, T) = o (\ln T)$ , ничего не улучшает.
Тогда, $N(\sigma, T) $ , имеет $T$ таких промежутков,
другими словами, прямоугольников на комплексной плоскости. С другой стороны, согласно
доказанной FT , плотность нулей с фиксированным $\sigma > 1/2$ , не растёт в каждом таком
прямоугольнике, так как общее их число $O(T)$ .
Следовательно $N(\sigma, T) = O(T) \cdot o (\ln T) = o(T \cdot \ln T) $ ,
(см. правила для $O(f) \cdot o(g) = o(fg)$
https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%ABO%C ... 0%BE%D0%B5
), но это же следует и из плотностной гипотезы, $N(\sigma, T) = O (T ^ {1 - \varepsilon })$ ,
и ничем не сильнее его.

Вы пытаетесь вывести оценку для $ N(\sigma, T) $ через разности $ N(\sigma, T + 1) - N(\sigma, T) $, но это даёт лишь верхнюю границу $ o(T \ln T) $, которая не оптимальна. Гипотеза Линделёфа усиливает этот результат, позволяя получить $ N(\sigma, T) = O(T^{1 - \varepsilon}) $ через связь с аналитическими свойствами $ \zeta(s) $. Поэтому Гипотеза Линделёфа действительно влечёт DH, но через более тонкие методы (не через прямое суммирование разностей). Можете посмотреть это в Ivić, "The Riemann Zeta-Function", глава 8 (связь LH и DH). По поводу п.п. 5 и 6 напишу позже, когда будет время.

[vicvolf]

Skipper в сообщении #1678859 писал(а):

5) AH. Гипотеза о почти всех нулях дзета-функции. (AH- "almost all" zero hypothesis).

"Почти все нули дзета-функции Римана лежат на критической прямой", что суть, эквивалентное утверждение,
для любого $\sigma \geqslant 1/2$ ,
$N(\sigma, T) = o(T \cdot \ln T) $ ,

Утверждение с одной стороны, асимптотически, ещё более слабое чем выше, даже для пункта 2, то есть FT.
Но с другой стороны, оно сильнее всех гипотез выше, включая плотностную гипотезу, и гипотезу Линделёфа,
так как расширено для сигма, не только больше чем $1/2$, а и для сигма равного $1/2$ .
Поэтому, оно кажется, сильнее всех выше гипотез. (Хотя это и не доказано, связи нет. Может оказаться и наоборот,
то есть даже если докажут эту гипотезу AH, то всё равно и гипотеза Линделёфа
и даже плотностная гипотеза могут оставаться далее недоказанными).
Эта гипотеза ограничивает число нулей, вблизи критической прямой с действительной частью,
стремящейся к $1/2$, но больше её.

Утверждение $ N\left(\frac{1}{2}, T\right) = o(T \ln T) $ эквивалентно тому, что доля нулей вне критической прямой стремится к нулю:
$\frac{N\left(\frac{1}{2}, T\right)}{N(T)} \sim \frac{o(T \ln T)}{T \ln T} \to 0 \quad \text{при } T \to \infty.$
Это не требует, чтобы $ N(\sigma, T) = o(T \ln T) $ для всех $ \sigma \geq \frac{1}{2} $. Достаточно доказать это для $ \sigma = \frac{1}{2} $.
AH слабее FT для $ \sigma > \frac{1}{2} $, но сильнее DH для $ \sigma = \frac{1}{2} $.
AH не сравнивается напрямую с LH, так как они затрагивают разные аспекты.

[Skipper]

vicvolf в сообщении #1679595 писал(а):

AH не сравнивается напрямую с LH, так как они затрагивают разные аспекты.

И какая из них представляется более сложной для доказательства в будущем? Я думаю, что гипотезу о почти всех нулях труднее доказать..

-- Вс мар 23, 2025 14:42:03 --

Есть функция Линделёфа, описываемая понятным языком, например тут-
http://loveread.ec/read_book.php?id=76259&p=119

Это функция $\mu (\sigma) $ , которая показывает скорость роста
$| \zeta (\sigma + ti) | = O(t ^ {\mu + \varepsilon})$ ,
для произвольно малого $\varepsilon$ .
Если существует нуль дзета-функции вне критической прямой, правее её, то существует нуль на той же высоте, левее её.
А там $\mu (\sigma) $ , становится уже точно больше нуля, то есть, порядок роста функции
$| \zeta (\sigma + ti) | = O(t ^ {\mu + \varepsilon})$ ,
становится уже не $t$ в бесконечно малой степени.
Возможно это может и быть причиной, почему при таком росте, такая ситуация вообще не может
осуществиться, что с таким $t$ , дзета функция (лежащая левее критической прямой)
может иметь бесконечное количество нулей.
И вообще кажется странным, чтобы функции, имеющие явно разный порядок роста, (то есть
на линиях правее и левее критической прямой), содержали бы одинаковое бесконечное количество нулей.