Непонятный момент в лемме Гурса

[Gg322]

Читал доказательство леммы в книге "Введение в комплексный анализ" Шабата, и не совсем понял, зачем требовать голоморфность функции при оценке интеграла.
Если ограничиться лишь непрерывностью в доказательстве леммы и представить функцию таким образом: $f(z) = f(z_0) + \alpha(z)$, где $\alpha(z)$ $\to 0$ при $z \to z_0$, то вроде как ничего не ломается и доказательство проходит для этого случая.
Ссылки на доказательство леммы: https://i.yapx.ru/YjvuO.png, https://i.yapx.ru/YjvuP.png.

[пианист]

Gg322 в сообщении #1678748 писал(а):

ничего не ломается

Ломается.
Используется же ограничение интеграла произведением $\varepsilon$ на квадрат периметра треугольника. В Вашей версии вместо квадрата окажется первая степень.

[drzewo]

риторический вопрос

(Оффтоп)

а нафиг это вообще надо, когда в предположении $f\in C^1$ теорема Коши доказывается тривиально?