Посчитать ковариацию

[andreiandrei]

Добрый день.
У меня вроде бы простой вопрос, но что-то не получается быстро сообразить. Помогите, пожалуйста.

Есть выборка1 из n чисел и выборка2 из m чисел, выбранных из выборки1. Нужно найти ковариацию средних выборки1 и выборки2.
Дано n, m и дисперсия выборки1.

[Евгений Машеров]

Для простоты считаем, что матожидание нулевое, и попавшие во вторую выборку (подвыборку) перемещены в начало выборки
$M_2=\frac 1 m \sum_1^m x_i$
$M_1=\frac 1 n \sum_1^n x_i=\frac 1 n (mM_2+\sum_{m+1}^n x_i)=\frac 1 n (mM_2+E)$
$M_2$ имеет дисперсию $m\sigma^2$, E - $(n-m)\sigma^2$

[andreiandrei]

Евгений Машеров в сообщении #1678537 писал(а):

Для простоты считаем...

Спасибо, Евгений! Опять помогли.
Посчитал.

[Евгений Машеров]

Сорри за опечатку.
$m\sigma^2$ это дисперсия не $ M_2$, а всего первого слагаемого.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Чтобы посчитать ковариацию, нужно посчитать вариацию и взять её теоретико-множественное дополнение.

[Евгений Машеров]

Утундрий в сообщении #1678716 писал(а):

(Оффтоп)

Чтобы посчитать ковариацию, нужно посчитать вариацию и взять её теоретико-множественное дополнение.

(Оффтоп)

Подкрепляя себя теоретико-множественным дополнением двухбуквенного выражения пренебрежения...

[мат-ламер]

Ковариация есть билинейная функция. Пусть $X_i$ - первая выборка, причём дисперсия каждой $X_i$ есть $\sigma^2$ . Пусть $Y_i$ - вторая выборка, причём $Y_i=X_i$ для $1\le i \le m $ . Тогда $cov(X_i,Y_i)=\sigma^2$ и $cov(X_i,Y_j)=0$ для $i\ne j$ . Осталось воспользоваться билинейностью ковариации. Я на правильном пути?
Евгений Машеров
Ничего не понял в вашем решении (оно практически без комментариев). Какой вы буквой обозначаете ответ и чему он у вас равен?

-- Вс мар 16, 2025 16:06:34 --

мат-ламер в сообщении #1678806 писал(а):

Осталось воспользоваться билинейностью ковариации.

Воспользуемся. Получается ответ $cov ((X_1+...+X_n)/n,(Y_1+...+Y_m)/m)=\sigma^2/n$ . (Не уверен в правильности. Буду проверять).

[andreiandrei]

Евгений Машеров в сообщении #1678713 писал(а):

Сорри за опечатку.
$m\sigma^2$ это дисперсия не $ M_2$, а всего первого слагаемого.

Это не важно. Главное - идея. После того, что Вы написали, считается сразу. Ответ $\sigma^2/n$

[Евгений Машеров]

мат-ламер в сообщении #1678806 писал(а):

Ничего не понял в вашем решении (оно практически без комментариев). Какой вы буквой обозначаете ответ и чему он у вас равен?

Ответ я не приводил, ограничился подсказкой (требование "не давать полного решения" как нельзя более импонирует моей лени )
А идея в том, что одна из двух величин есть взвешенная сумма другой величины и независимой от этой другой величины случайной величины)