Длина цикла в гипотезе Коллатца

[Martynov_M]

Есть известная работа Элиаху (1993), в которой показана зависимость длины цикла в гипотезе Коллатца от минимального числа в этом цикле. Эта зависимость показана в виде таблицы, где каждая строка рассчитана вручную.

Работа Элиаху опирается на тот факт, что длина цикла в гипотезе Коллатца удовлетворяет условию:

\log_{2}(3) < \dfrac{k}{k_1} \le \log_{2}(3 + \dfrac{1}{m}) \; \; \; \; \; \; \text{(1)}

где $k$ – это длина цикла, $k_1$ – количество нечетных элементов в цикле, $m$ - минимальное число в цикле.
$\log_{2}(3)$ – это иррациональное число, дробь $\dfrac{k}{k_1}$ – это рациональное число. Следовательно, мы можем вычислить все возможные значения длин циклов в гипотезе Коллатца через подходящие дроби.

В таблице №1 приводится значение непрерывной (цепной) дроби $[a_0, a_1, a_2, a_3,...]$ для иррационального числа $\log_{2}(3)$ и соответствующие значения n-ых («энных») подходящих дробей $\dfrac{p_n}{q_n}$.
Для нахождения всех возможных длин циклов Элиаху берет, естественно, верхнее приближение («upper convergents») для иррационального числа $\log_{2}(3)$, т.е. только нечетные индексы из таблицы №1, и составляет таблицу №2.

В таблице №2 он также публикует значение переменной $m$ (минимальное число в цикле), начиная с которого n-ая («энная») подходящая дробь уже не подходит для выполнения условия $(1)$, и тогда нужно переходить к следующей более точной n-ой («энной») подходящей дроби.
Таким образом, он находит зависимость длины цикла от минимального числа в этом цикле.

Вопрос. Можно ли как-то показать среднюю скорость роста длины цикла от минимального числа? Или показать, чем ограничена эта скорость роста (сверху, снизу)?
Чтобы быть более понятным, приведу пример (таблица №2):

$m = 2^{28}, \; \; \; \text{length} = 24 727.$
$m = 2^{39}, \; \; \; \text{length} = 301 994.$
$m = 2^{48}, \; \; \; \text{length} = 17 087 915.$
$m = 2^{54}, \; \; \; \text{length} = 272 500 658.$
$m = 2^{67}, \; \; \; \text{length} = 10 439 860 591.$
$m = 2^{79}, \; \; \; \text{length} = 2 605 281 674 813.$
$m = 2^{87}, \; \; \; \text{length} = 18 340 740 190 704.$
$m = 2^{90}, \; \; \; \text{length} = 101 470 897 268 921.$
…

Можем ли мы на основе вот этих вот значений из таблицы №2 сказать, чему равна средняя скорость роста параметра $\text{length}$ от $m$ без использования других параметров из таблицы? И можем ли мы определить, чем ограничена эта скорость роста (сверху, снизу)?

[Sender]

Прежде всего надо сказать, что без теоретического обоснования никаких далеко идущих выводов в такой ситуации делать нельзя. Ну а так можно заметить, что $\text{length}^2$ болтается где-то в районе $m$ плюс-минус пара порядков.