2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Метрика Хаусдорфа
Сообщение07.03.2025, 19:55 
Два вопроса. 1) правильно ли я формулирую теорему и 2) если да, то на что сослаться?

Пусть $(X,d)$ -- полное (но не обязательно компактное!) метрическое пространство и $K(X)$ -- множество компактных подмножеств $X$.
Теорема.
Множество $K(X)$ полно относительно метрики
$$\rho(A,B)=\max\big\{\sup_{y\in A}\inf_{x\in B}d(x,y),\,\sup_{y\in B}\inf_{x\in A}d(x,y)\big\}$$

 
 
 
 Re: Метрика Хаусдорфа
Сообщение07.03.2025, 21:46 
Насколько я понимаю, в точности эта теорема доказывается здесь:
https://www.whitman.edu/documents/Acade ... Barich.pdf

 
 
 
 Re: Метрика Хаусдорфа
Сообщение07.03.2025, 23:34 
Да, правильно. Сослаться можно на: Куратовский Топология, том 1( про метрику Хаусдорфа), том 2 (про компакты); Энгелькинг Общая топология. Полным относительно метрики Хаусдорфа является семейство замкнутых ограниченных множеств. Компакты - - замкнутое подмножество.

 
 
 
 Re: Метрика Хаусдорфа
Сообщение08.03.2025, 00:12 
Чуть другое: Бурбаки, Общая топология, гл. IX, параграф 2, упражнение 6.

 
 
 
 Re: Метрика Хаусдорфа
Сообщение08.03.2025, 06:22 
Всем спасибо

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group