А давайте я расскажу Вам, как такие задачи решаются с помощью Байесовского оценивания.
Для начала оговорим все априорные предположения. Итак, предполагается, что испытания в серии независимы и вероятность выпадения единицы имеет некую фиксированную величину

. Получается, что

это просто некий неизвестный параметр, который мы хотим оценить (забудем о том, что это "вероятность"). Однако для вероятности выпадения единицы мы можем смело записать:
Здесь вероятность умышленно обозначена большой буквой, чтобы "не путать" её с искомым параметром

. Соответственно:
Для полноты определения задачи не хватает только априорного распределения параметра

:
Но мы не слишком сильно погрешим против истины, если примем, что этот параметр априорно распределён равномерно по отрезку от 0 до 1. Или в терминах плотности вероятности:
Вот и все априорные предположения. Поскольку испытания в серии независимы, вероятность выпадения

единиц в

испытаниях запишется как:
что является не новым результатом для тех, кто знаком с биномиальным распределением.
Дело остаётся за малым: собственно за применением формулы Байеса, которая в данном случае сводится к тому, что для получения апостериорной плотности вероятности

произведение

остаётся пронормировать по параметру

.
Вот, собственно, и всё. Далее - что хотите: Хотите для величины

точечную оценку по максимуму плотности вероятности - получите

. Хотите точечную оценку по средне-вероятному значению - получите

. Хотите интервальную оценку - выбирайте любой угодный Вам доверительный интервал и считайте.
Для случая, когда

, имеем

. Вероятность того, что

отклонится от единицы более чем на

, нетрудно подсчитать, проинтегрировав эту функцию от

до

(и получится

). Вот и будет Вам интервальная оценка такая-то с достоверностью такой-то.