Дифференциальное неравенство

[TelmanStud]

Доброго времени суток!

Имеется неравенство

$$ \big(\ln f(x)\big)_{xx} \ge 0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(*) $$

гдe $f(x)$ представляет собой сумму произведений многочленов и экспонент

$$ f(x) = P_1(x) e^{\lambda_1 x} + P_2(x) e^{\lambda_2 x} + \dotsc + P_n(x) e^{\lambda_n x},\quad P_j(x) \text{-произвольные многочлены} $$

Все величины действительны. Спрашивается можно ли выбрать многочлены $P_j$ и коэффициенты $\lambda_j$ так, чтобы неравенство (*) было верно для любых $x$.
Не сложно найти тривиальные случаи, когда все степени многочленов нулевые. Например,

$$ f(x) = e^x+e^{2 x}, \quad \big(\ln f(x)\big)_{xx} =\frac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}>0. $$

Таким образом, существует ли $f(x)$ с нетривиальными многочленами?

[Rak so dna]

Вроде $f(x) = x\cdot e^{x} + e^{2x} + e^{-2x} + e^{3x} + e^{-3x} $ подходит (внимательно не проверял). Или надо что бы все многочлены были нетривиальны?

[TelmanStud]

Rak so dna
Нет не обязательно, мне прост хотелось проверить, возможно ли такое вовсе.
Как вы пришли к этой функции