2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальное неравенство
Сообщение07.03.2025, 12:53 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Доброго времени суток!

Имеется неравенство
$$
\big(\ln f(x)\big)_{xx} \ge 0,\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad(*)
$$
гдe $f(x)$ представляет собой сумму произведений многочленов и экспонент
$$
f(x) =  P_1(x) e^{\lambda_1 x} + P_2(x) e^{\lambda_2 x} +  \dotsc + P_n(x) e^{\lambda_n x},\quad P_j(x) \text{-произвольные многочлены}
$$
Все величины действительны. Спрашивается можно ли выбрать многочлены $P_j$ и коэффициенты $\lambda_j$ так, чтобы неравенство (*) было верно для любых $x$.
Не сложно найти тривиальные случаи, когда все степени многочленов нулевые. Например,
$$
f(x) = e^x+e^{2 x}, \quad \big(\ln f(x)\big)_{xx} =\frac{e^x}{\left(e^x+1\right)^2}>0.
$$
Таким образом, существует ли $f(x)$ с нетривиальными многочленами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное неравенство
Сообщение07.03.2025, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/02/14
610
so dna
Вроде $f(x) = x\cdot e^{x} + e^{2x} + e^{-2x} + e^{3x} + e^{-3x} $ подходит (внимательно не проверял). Или надо что бы все многочлены были нетривиальны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальное неравенство
Сообщение07.03.2025, 16:12 
Аватара пользователя


05/04/13
587
Rak so dna
Нет не обязательно, мне прост хотелось проверить, возможно ли такое вовсе.
Как вы пришли к этой функции

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group