Сходящаяся подпоследовательность

[drzewo]

$X$ -- банахово пространство; $K\subset X$ -- компакт. $I=[0,1]$.
$u_n:I\to X$ -- последовательность суммируемых функций такая, что $u_n(I)\subset K\quad \forall n\in\mathbb{N}$.
Доказать, что последовательность $U_n(t)=\int_0^tu_n(s)ds$ содержит равномерно сходящуюся на $I$ подпоследовательность.

[Padawan]

Теорема Арцела-Асколи

[drzewo]

Padawan в сообщении #1677604 писал(а):

Теорема Арцела-Асколи

Сформулируйте версию этой теоремы, которую Вы используете

[Padawan]

Ну, надо ввести метрическое пространство отображений из $I$ в некоторый компакт (видимо, в уравновешенную выпуклую оболочку $K$) и проверить равностепенную непрерывность данного семейства.

-- Чт мар 06, 2025 00:07:14 --

drzewo в сообщении #1677606 писал(а):

Сформулируйте версию этой теоремы, которую Вы используете

Если $X, Y$ -- метрические компакты, то семейство отображений $M\subset C(X, Y) $ (в $\sup$-метрике) предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равностепенно равномерно непрерывно.

[skobar]

Обобщенная теорема Асколи. См., например, вечного Колмогорова-Фомина :)

[drzewo]

Padawan в сообщении #1677608 писал(а):

Если $X, Y$ -- метрические компакты, то семейство отображений $M\subset C(X, Y) $ (в $\sup$-метрике) предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равностепенно равномерно непрерывно.

Я привык к несколько более общей формулировке из Лорана Шварца Анализ том 2. Фактически кроме теоремы Арцела-Асколи используются еще два серьезных факта: замкнутая выпуклая оболочка компакта -- компакт. И второй факт (который я видел только в статьях, хотя он и естественен) Если $v:S\to X$ -- суммируемое отображение из пространства с мерой $S,\quad\mu(S)>0$ то

$$\frac{1}{\mu(S)}\int_Svd\mu$$

принадлежит замкнутой выпуклой оболочке множества $v(S)$.
Вы по сути это и сказали.