Здравствуйте. Разбирая решение задачи по определению перемещения кольца при его изгибе из книги Л.И. Балабуха «Строительная механика ракет», я столкнулся с непонятным математическим приемом.
Требуется рассмотреть деформацию кольца под действием внешней нагрузки. Нагрузка считается определенной в виде функции изгибающего момента, возникающего в каждом сечении кольца.
Деформация определяется в виде трех функций: смещение точек кольца в касательном направлении (

), радиальном направлении (

) и поворот касательной (

) для каждой точки вдоль длины кольца. Каждая из функций зависит от угловой координаты

кольца. Для определения этих функций имеется следующая система дифференциальных уравнений:


(1)

В общем виде решение этих уравнений представляется в виде:


(4)

Где,

- частное решение неоднородного дифференциального уравнения.
Вместе с этим, смещения точек кольца также могут возникать вследствие перемещения и поворота кольца как жесткого тела без его деформации, относительно системы координат, в которой рассматривается перемещения точек кольца. Функции, определяющие смещения и поворот точек кольца, вследствие перемещения кольца как жесткого тела выглядят так:


(3)

Эти функции совпадают с функциями (2), с точностью до частного решения ДУ. Определить константы интегрирования уравнений (2) из условия периодичности не представляется возможным. Следовательно, требуется метод для разделения этих функций, в том случае, когда рассматривается одновременно деформированное кольцо и смещенное относительно системы координат произвольным образом. В таком случае, общее смещение представляется следующим образом:


(2)

Где, константы

– определяют смещение кольца как жесткого тела, а

- константы интегрирования уравнения (2), которые определяют форму деформации кольца и зависят от функции момента М

.
Затем, автор метода делает следующее. Он утверждает, что скалярное произведение функций (2) и (3) должно быть равно нулю для любого смещения кольца как жесткого тела (т.е. при любом значении и их сочетании между собой параметров а). Скалярное произведение определяется как интеграл произведения двух функций, вдоль всей длины кольца (угловая координата от 0 до

). Исходя из этого требования выделяются единственные константы для уравнения (2), которые определяют действительную деформацию кольца.
Именно этот прием мне остался непонятен. Почему функции (2) и (3) должны быть ортогональны исходя из физического смысла задачи? Есть ли физические основания, исходя из которых с помощью этого метода получается действительно именно та деформация, которая будет наблюдаться при приложении нагрузки к кольцу?
Далее приведу свои общие (и не вполне строгие) соображения. Общее смещение точек кольца есть сумма функций (2), (3), которые являются базисными. То есть каждая функция определяет смещение либо из-за деформации, либо от перемещения без деформации независимо от другой функции. Базисные функции должны быть ортогональны и условием ортогональности является равенство нулю скалярного произведения двух этих функций. Но как это совмещается с физическим смыслом решаемой задачи мне не ясно.
Несколько позже я заметил еще кое-что. Автор книги как следствие из условия ортогональности приводит следующие интегральные условия, которым должны удовлетворять функции, описывающие деформацию:







В других книгах, где рассматривается та же задача (например: Образцов «Строительная механика летательных аппаратов» или Кан «Строительная механика оболочек») некоторые из этих интегральных условий подаются как факт (без разъяснения откуда они взялись) и с их помощью находятся постоянные интегрирования без прибегания к вышеупомянутой ортогональности. Но опять-же я не могу понять физический смысл этих интегральных условий. Прошу помощи у форума.