2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Определение перемещения при изгибе кольца.
Сообщение02.03.2025, 20:32 


23/08/20
1
Здравствуйте. Разбирая решение задачи по определению перемещения кольца при его изгибе из книги Л.И. Балабуха «Строительная механика ракет», я столкнулся с непонятным математическим приемом.
Требуется рассмотреть деформацию кольца под действием внешней нагрузки. Нагрузка считается определенной в виде функции изгибающего момента, возникающего в каждом сечении кольца.
Деформация определяется в виде трех функций: смещение точек кольца в касательном направлении ($\upsilon$), радиальном направлении ($\omega$) и поворот касательной ($\theta$) для каждой точки вдоль длины кольца. Каждая из функций зависит от угловой координаты $\varphi$ кольца. Для определения этих функций имеется следующая система дифференциальных уравнений:
$\frac{d^3}{d\varphi^3}\upsilon+\frac{d}{d\varphi}\upsilon=-\frac{R^2}{EI}\cdot M$
$\omega=\frac{d}{d\varphi}\upsilon$(1)
$\theta=-\frac{1}{R}\cdot (\frac{d^2}{d\varphi^2}\upsilon+\upsilon)$

В общем виде решение этих уравнений представляется в виде:
$\upsilon=\upsilon^*+C_0+C_1\cos\varphi+C_2\sin\varphi$
$\omega=-\frac{d}{d\varphi}\upsilon^*+C_1\sin\varphi-C_2\cos\varphi$(4)
$\theta=-\frac{1}{R}\cdot (\frac{d^2}{d\varphi^2}\upsilon^*+\upsilon^*)-\frac{C_0}{R}$

Где, $\upsilon^*$ - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Вместе с этим, смещения точек кольца также могут возникать вследствие перемещения и поворота кольца как жесткого тела без его деформации, относительно системы координат, в которой рассматривается перемещения точек кольца. Функции, определяющие смещения и поворот точек кольца, вследствие перемещения кольца как жесткого тела выглядят так:
$\upsilon=a_0+a_1\cos\varphi-a_2\sin\varphi$
$\omega=a_1\sin\varphi-a_2\cos\varphi$ (3)
$\theta=-\frac{a_0}{R}$

Эти функции совпадают с функциями (2), с точностью до частного решения ДУ. Определить константы интегрирования уравнений (2) из условия периодичности не представляется возможным. Следовательно, требуется метод для разделения этих функций, в том случае, когда рассматривается одновременно деформированное кольцо и смещенное относительно системы координат произвольным образом. В таком случае, общее смещение представляется следующим образом:
$\upsilon=\upsilon^*+(C_0+a_0)+(C_1+a_1)\cos\varphi+(C_2-a_2)\sin\varphi$
$\omega=-\frac{d}{d\varphi}\upsilon^*+(C_1+a_1)\sin\varphi-(C_2+a_2)\cos\varphi$(2)
$\theta=-\frac{1}{R}\cdot (\frac{d^2}{d\varphi^2}\upsilon^*+\upsilon^*)-(\frac{C_0}{R}+\frac{a_0}{R})$
Где, константы $a_0, a_1, a_2$ – определяют смещение кольца как жесткого тела, а $C_0, C_1, C_2$ - константы интегрирования уравнения (2), которые определяют форму деформации кольца и зависят от функции момента М$(\varphi)$.

Затем, автор метода делает следующее. Он утверждает, что скалярное произведение функций (2) и (3) должно быть равно нулю для любого смещения кольца как жесткого тела (т.е. при любом значении и их сочетании между собой параметров а). Скалярное произведение определяется как интеграл произведения двух функций, вдоль всей длины кольца (угловая координата от 0 до $2\pi$). Исходя из этого требования выделяются единственные константы для уравнения (2), которые определяют действительную деформацию кольца.
Именно этот прием мне остался непонятен. Почему функции (2) и (3) должны быть ортогональны исходя из физического смысла задачи?  Есть ли физические основания, исходя из которых с помощью этого метода получается действительно именно та деформация, которая будет наблюдаться при приложении нагрузки к кольцу?

Далее приведу свои общие (и не вполне строгие) соображения. Общее смещение точек кольца есть сумма функций (2), (3), которые являются базисными. То есть каждая функция определяет смещение либо из-за деформации, либо от перемещения без деформации независимо от другой функции. Базисные функции должны быть ортогональны и условием ортогональности является равенство нулю скалярного произведения двух этих функций. Но как это совмещается с физическим смыслом решаемой задачи мне не ясно.

Несколько позже я заметил еще кое-что. Автор книги как следствие из условия ортогональности приводит следующие интегральные условия, которым должны удовлетворять функции, описывающие деформацию:
$$\int\limits_{0}^{2\pi}\upsilon d\varphi=0$$
$$\int\limits_{0}^{2\pi}\upsilon \sin\varphi d\varphi=0$$
$$\int\limits_{0}^{2\pi}\upsilon \cos\varphi d\varphi=0$$
$$\int\limits_{0}^{2\pi}\omega d\varphi=0$$
$$\int\limits_{0}^{2\pi}\omega \sin\varphi d\varphi=0$$
$$\int\limits_{0}^{2\pi}\omega \cos\varphi d\varphi=0$$
$$\int\limits_{0}^{2\pi}\theta d\varphi=0$$
В других книгах, где рассматривается та же задача (например: Образцов «Строительная механика летательных аппаратов» или Кан «Строительная механика оболочек») некоторые из этих интегральных условий подаются как факт (без разъяснения откуда они взялись) и с их помощью находятся постоянные интегрирования без прибегания к вышеупомянутой ортогональности. Но опять-же я не могу понять физический смысл этих интегральных условий. Прошу помощи у форума.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: photon, profrotter, Парджеттер, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group