Почему я раньше этого не замечал? (математика и физика)

[Anton_Peplov]

Предлагаю делиться здесь наблюдениями по математике и физике, которые тривиально следуют из известных фактов, но почему-то раньше не приходили в голову. А тут вдруг как пришли, и вызвали ощущение "почему я раньше этого не замечал?".

Начну с себя. Общеизвестна теорема, что для конечномерного линейного пространства $L$ и линейного оператора $A \colon L \to L$

$$ \dim (\operatorname {Ker} A) + \dim (\operatorname {Im} A) = \dim L $$

(сумма размерностей ядра и образа дает размерность пространства).

Только что до меня дошло, как до жирафа, что из этого следует красивый факт: для конечномерного линейного пространства $L$ любая линейная инъекция $L \to L$ и любая линейная сюръекция $L \to L$ есть автоморфизм.

Красиво же. Я бы такое в учебнике написал, в упражнениях на "докажите самостоятельно".

P.S. Вторая часть упражнения для студента - построить контрпримеры к обоим утверждениям в бесконечномерном пространстве.

[drzewo]

Anton_Peplov в сообщении #1677231 писал(а):

ора $A \colon L \to L$

$$ \dim (\operatorname {Ker} A) + \dim (\operatorname {Im} A) = \dim L $$

Это формула верна и для случая $A:L\to X$, где $X$ -- любое векторное пространство, $\dim L<\infty$.

[Padawan]

Anton_Peplov в сообщении #1677231 писал(а):

Только что до меня дошло, как до жирафа, что из этого следует красивый факт: для конечномерного линейного пространства $L$ любая линейная инъекция $L \to L$ и любая линейная сюръекция $L \to L$ есть автоморфизм.

То есть верна альтернатива Фредгольма: отображение сюръективно тогда и только тогда, когда оно инъективно.