2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Почему я раньше этого не замечал? (математика и физика)
Сообщение02.03.2025, 20:10 
Аватара пользователя
Предлагаю делиться здесь наблюдениями по математике и физике, которые тривиально следуют из известных фактов, но почему-то раньше не приходили в голову. А тут вдруг как пришли, и вызвали ощущение "почему я раньше этого не замечал?".

Начну с себя. Общеизвестна теорема, что для конечномерного линейного пространства $L$ и линейного оператора $A \colon L \to L$
$$
\dim (\operatorname {Ker} A) + \dim (\operatorname {Im} A) = \dim L
$$
(сумма размерностей ядра и образа дает размерность пространства).

Только что до меня дошло, как до жирафа, что из этого следует красивый факт: для конечномерного линейного пространства $L$ любая линейная инъекция $L \to L$ и любая линейная сюръекция $L \to L$ есть автоморфизм.

Красиво же. Я бы такое в учебнике написал, в упражнениях на "докажите самостоятельно".

P.S. Вторая часть упражнения для студента - построить контрпримеры к обоим утверждениям в бесконечномерном пространстве.

 
 
 
 Re: Почему я раньше этого не замечал? (математика и физика)
Сообщение09.03.2025, 14:42 
Anton_Peplov в сообщении #1677231 писал(а):
ора $A \colon L \to L$
$$
\dim (\operatorname {Ker} A) + \dim (\operatorname {Im} A) = \dim L
$$

Это формула верна и для случая $A:L\to X$, где $X$ -- любое векторное пространство, $\dim L<\infty$.

 
 
 
 Re: Почему я раньше этого не замечал? (математика и физика)
Сообщение20.03.2025, 15:49 
Anton_Peplov в сообщении #1677231 писал(а):
Только что до меня дошло, как до жирафа, что из этого следует красивый факт: для конечномерного линейного пространства $L$ любая линейная инъекция $L \to L$ и любая линейная сюръекция $L \to L$ есть автоморфизм.

То есть верна альтернатива Фредгольма: отображение сюръективно тогда и только тогда, когда оно инъективно.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group