2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Почему я раньше этого не замечал? (математика и физика)
Сообщение02.03.2025, 20:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
8874
Предлагаю делиться здесь наблюдениями по математике и физике, которые тривиально следуют из известных фактов, но почему-то раньше не приходили в голову. А тут вдруг как пришли, и вызвали ощущение "почему я раньше этого не замечал?".

Начну с себя. Общеизвестна теорема, что для конечномерного линейного пространства $L$ и линейного оператора $A \colon L \to L$
$$
\dim (\operatorname {Ker} A) + \dim (\operatorname {Im} A) = \dim L
$$
(сумма размерностей ядра и образа дает размерность пространства).

Только что до меня дошло, как до жирафа, что из этого следует красивый факт: для конечномерного линейного пространства $L$ любая линейная инъекция $L \to L$ и любая линейная сюръекция $L \to L$ есть автоморфизм.

Красиво же. Я бы такое в учебнике написал, в упражнениях на "докажите самостоятельно".

P.S. Вторая часть упражнения для студента - построить контрпримеры к обоим утверждениям в бесконечномерном пространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему я раньше этого не замечал? (математика и физика)
Сообщение09.03.2025, 14:42 


21/12/16
1418
Anton_Peplov в сообщении #1677231 писал(а):
ора $A \colon L \to L$
$$
\dim (\operatorname {Ker} A) + \dim (\operatorname {Im} A) = \dim L
$$

Это формула верна и для случая $A:L\to X$, где $X$ -- любое векторное пространство, $\dim L<\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Почему я раньше этого не замечал? (математика и физика)
Сообщение20.03.2025, 15:49 
Заслуженный участник


13/12/05
4664
Anton_Peplov в сообщении #1677231 писал(а):
Только что до меня дошло, как до жирафа, что из этого следует красивый факт: для конечномерного линейного пространства $L$ любая линейная инъекция $L \to L$ и любая линейная сюръекция $L \to L$ есть автоморфизм.

То есть верна альтернатива Фредгольма: отображение сюръективно тогда и только тогда, когда оно инъективно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модератор: Модераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group