2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теория вероятностей, доказать равенство
Сообщение27.02.2025, 22:02 


18/05/15
747
$\xi$ - абсолютно интегрируемая неотрицательная случайная величина, $\mathsf{P}$ - вероятностная мера. Доказать, что $$\mathsf{E}\xi = \int\xi d\mathsf{P}= \int\limits_0^\infty \mathsf{P}(\xi>x)dx =: J(\xi).\qquad (1)$$

Попытка. Пусть $\xi_n\uparrow\xi$, где $\xi_n$ простые случайные величины. $\mathsf{E}\xi_n = J(\xi_n)$ для любого натурального $n$. По теореме о монотонной сходимости интеграла Лебега $\mathsf{E}\xi_n \uparrow \mathsf{E} \xi$, и $J(\xi_n)\uparrow J(\xi)$, так как $\mathsf{P}(\xi_n>x)=\mathsf{E}I_{\xi_n>x}\uparrow \mathsf{E}I_{\xi>x} = \mathsf{P}(\xi>x)$.

Нет ли более простого способа доказать (1)? Заранее спасибо)

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей, доказать равенство
Сообщение28.02.2025, 04:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1442
Антарктика
Например, представить $x$ в виде интеграла единицы и воспользоваться теоремой Фубини.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей, доказать равенство
Сообщение28.02.2025, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2752
Физтех
ihq.pl
Не знаю, насколько это "просто", но можно взять выражение для математического ожидания в терминах интеграла Стилтьеса, проинтегрировать по частям и использовать, что $x\mathsf{P}(\xi>x)\to0$, $x\to\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей, доказать равенство
Сообщение28.02.2025, 11:58 


18/05/15
747
thething, сначала так и начал делать, но всё закончилось какими-то неясными догадками. Воспроизведу. Пусть $F=F(x)$ - функция распределения $\xi$. Тогда $$\mathsf{E}\xi = \int\limits_0^\infty xdF(x) = \int\limits_0^\infty\int\limits_0^\infty I_{t\in [0,x)}dtdF(x) = \int\limits_0^\infty g(t)dt,$$ где $$g(t) =\int\limits_0^\infty I_{t\in [0,x)}dF(x) = \int\limits_0^t I_{t\in [0,x)}dF(x) + \int\limits_t^\infty I_{t\in [0,x)}dF(x) = \mathsf{P}(\xi>t)$$.
Смутил индикатор $I_{t\in [0,x)}$. Он зависит и от $t$ и от $x$ и надо о чем-то догадываться...как то так. Подумалось, что, может, есть более строгое логическое доказательство.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей, доказать равенство
Сообщение28.02.2025, 16:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/12/17
1442
Антарктика
ihq.pl в сообщении #1676948 писал(а):
Смутил индикатор $I_{t\in [0,x)}$. Он зависит и от $t$ и от $x$ и надо о чем-то догадываться...как то так.

Напрасно смутил. Просто сперва мы смотрим на него, как на функцию от $t$ с параметром $x$, а затем -- наоборот (неравенство то же самое, но читается в другом направлении). Ещё нагляднее будет, если вообще индикаторы не использовать, а просто записать внутренний интеграл, как $\displaystyle\int\limits_0^xdt$ и поменять порядок интегрирований, как учит матанализ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей, доказать равенство
Сообщение28.02.2025, 23:38 


18/05/15
747
thething, дошло, интегрируем на плоскости $tx$ под прямой $x=t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теория вероятностей, доказать равенство
Сообщение03.03.2025, 16:18 


18/05/15
747
Еще одно равенство: Пусть $\xi,\eta$ - абсолютно интегрируемые и независимые случайные величины, и пусть $B = B_1\times B_2$, где $B_1,B_2$ - борелевские подмножества из $\mathbb{R}$. Тогда $$\mathsf{E}(I_{B_1\times B_2}(\xi,\eta)|\eta=y) = \mathsf{E} I_{B_1\times B_2}(\xi,y) \quad \text{($P_\eta$-п.н.)}\qquad (2)$$
В учебнике говорится, что для доказательства (2) достаточно проверить равенство $$\int\limits_{\{\eta\in A\}}\mathsf{E}(I_{B_1\times B_2}(\xi,\eta))d\mathsf{P} = \int\limits_A \mathsf{E} I_{B_1\times B_2}(\xi,y)P_\eta(dy).$$

Вопрос. Зачем обращаться к интегралам по $A$? Разве нелья проверить формулу (2) напрямую? Для левой части в (2) получаем $$\mathsf{E}[I_{B_1\times B_2}(\xi,\eta)|\eta=y] = I_{B_2}(y)\mathsf{E}[I_{B_1}(\xi)|\eta=y] = I_{B_2}(y)\mathsf{E}I_{B_1}(\xi) \quad \text{($P_\eta$-п.н.)}.$$
А для правой $$\mathsf{E} I_{B_1\times B_2}(\xi,y) = \mathsf{E} [I_{B_1}(\xi) I_{B_2}(y)]= I_{B_2}(y)\mathsf{E} I_{B_1}(\xi).$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group