Найдите среднее значение

[drzewo]

Вопрос по задаче 3 отсюда
<<теорминимум>>

Я полагаю, что ответ в задаче такой:

$$\sqrt{\frac{1}{6^2}\frac{\int_W gd\mu}{(4\pi)^4}},\quad W=S^2\times S^2\times S^2\times S^2,$$

где $S^2$ -- единичная сфера в $\mathbb{R}^3$, $\mu$ -- мера прямого произведения, полученная из стандартных элементов площади сферы в $\mathbb{R}^3$;
$g$ -- определитель матрицы Грамма векторов $AB,AC,AD$.
Однако, что-то мне подсказывает, что авторы не имели в виду интеграл по 8-мимерному многообразию.
Что скажете?

(Оффтоп)

А, в остальном, мне нравится Черноголовка, приятный такой городок, без пафоса.

[lel0lel]

При нахождении объёма любой из пирамид систему координат можно выбрать так, что одна из вершин фиксирована, а ещё одна вершина имеет одну фиксированную координату (полярный угол). Интеграл будет пятимерным.

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1675336 писал(а):

При нахождении объёма любой из пирамид систему координат можно выбрать так, что одна из вершин фиксирована, а ещё одна вершина имеет одну фиксированную координату. Интеграл будет пятимерным.

Простите, я не очень понял. Вы согласны с той формулой, что я написал или нет?
Если Вы говорите про технику, то это меня не очень интересует -- там стоит длинная сумма, но каждое слагаемое интегрируется элементарно. И вообще для этого существуют программы символьных вычислений.

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1675341 писал(а):

Простите, я не очень понял. Вы согласны с той формулой, что я написал или нет?

Выписал квадрат объёма параллелепипеда, используя тензорную запись, действительно, получается определитель матрицы Грамма. Остался вопрос: если объём пирамиды это треть объёма параллелепипеда, то почему $\frac{1}{6^2}$

lel0lel в сообщении #1675422 писал(а):

Если Вы говорите про технику

Да, сначала подумал, что вопрос в сложности расчёта.

[drzewo]

lel0lel в сообщении #1675422 писал(а):

Остался вопрос: если объём пирамиды это треть объёма параллелепипеда, то почему $\frac{1}{6^2}$

а у меня как-то засело, что $1/6$, а в общем случае $\frac{1}{n!}$
надо проверить

-- 18.02.2025, 19:45 --

lel0lel в сообщении #1675422 писал(а):

если объём пирамиды это треть объёма параллелепипеда

Вы в этом точно уверены?

[Someone]

drzewo в сообщении #1675425 писал(а):

а у меня как-то засело, что $1/6$, а в общем случае $\frac{1}{n!}$
надо проверить

Одна треть, если основание пирамиды совпадает с основанием параллелепипеда. А если Вы имеете в виду треугольную пирамиду, основанием которой является половина основания параллелепипеда, то одна шестая.

[drzewo]

в условии задачи сказано <<тетраэдр>>

[lel0lel]

drzewo в сообщении #1675425 писал(а):

Вы в этом точно уверены?

Это я затупил. Площадь основания ведь другая, извиняюсь.

[мат-ламер]

В тексте перед задачами присутствует намёк, что задачу 3 можно решать разными способами. И некоторые способы могут значительно сократить вычисления. Но на экзамен даётся много времени. Так что просто вычисляя многомерный интеграл, можно успеть с задачей справиться. Но там ещё есть загадочная фраза: "Что получится, если считать средний объём вместо среднеквадратичного?" После которой я стал сомневаться, как правильно трактовать условие в задаче - там стоит корень из квадрата. Матожидание к чему относится - ко всему выражению? Или только к квадрату, после чего из него берётся корень?

[мат-ламер]

P.S. Извиняюсь, невнимательно посмотрел. При более внимательном рассмотрении оказалось, что внешняя скобка угловая. Значит надо найти корень из матожидания квадрата.