Всерос 2017\18, Удар

[drzewo]

Цитата:

Три муфты ($A$, $B$ и $C$) массы которых равны $2m$, $3m$ и $m$ соответственно, могут скользить без трения по двум горизонтальным направляющим, пересекающимся под прямым углом. Муфты $A$ и $B$ с помощью шарниров соединены с легким жестким неупругим стержнем так, что угол между стержнем и направляющей, на которой надета муфта $B$, равен $\alpha$. Между муфтой $C$, движущейся со скоростью $v$, и покоящейся муфтой $A$ происходит неупругое столкновение.
Определите скорости муфт сразу после соударения.

(Оффтоп)

Понятия не имею, наверное это и хорошо, как по мнению авторов должен решать эту задачу школьник.

Задача хороша тем, что затевает интересный разговор об ударе.
Теорию удара в системе с идеальными голономными связями естественно выводить из вариационного принципа Гамильтона.
В результате получается красивая геометрическая наука, которая в применении к данной задаче будет выглядеть так.
Пропустим через вертикальную направляющую ось $x$ с началом в угле между направляющими. Через $x_1$ обозначим координату точки $A$, а через $x_2$ -- координату точки $C.$
Вычислим кинетическую энергию системы:

$$T=\frac{1}{2}m\dot x_2^2+m\dot x_1^2+\frac{3m}{2}\frac{x_1^2}{r^2-x_1^2}\dot x_1^2,\quad r=|AB|.$$

Конфигурационным пространством этой системы будем считать область

$$M=\{(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2\mid x_2>0,\quad 0<x_1<r\}.$$

Теперь динамика системы описывается движением точки с координатами $(x_1,x_2)\in M$.
В области $M$ имеется поверхность удара:

$$S=\{x_1=x_2\}.$$

Кинетическая энергия является положительной квадратичной формой скоростей $\dot x_1,\dot x_2$ т.е. задает в области $M$ риманову метрику.

Сперва предположим, что удар является абсолютно упругим. Оказывается, точка $(x_1,x_2)(t)$ натыкается на многообразие $S$ и отскакивает от этого многообразия, как и положено при абсолютно упругом ударе: модуль скорости сохраняется и действует правило <<угол падения равен углу отражения>>. Только модуль и угол надо понимать в смысле введенной римановой метрики. Это следует из принципа Гамильтона.
Если удар является неупругим (как в задаче) то, обобщая элементарную теорию, скажем, что после удара скорость точки $(x_1,x_2)(t)$ направлена по касательной к поверхности $S$ и сохраняется ортогональная проекция скорости на касательную к $S$. Разумеется, ортогональность и здесь понимается в смысле метрики кинетической энергии.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1674777 писал(а):

как по мнению авторов должен решать эту задачу школьник.

В рамках "общей физики" задача решается просто:
1. Типовой ход - записать уравнение связи и продифференцировать его по времени, откуда получить:
$\dot{x} = - \dot{y} \tg \alpha$
Оси направлены по спицам.

2. Догадаться, что импульс, переданный вдоль палки, одинаковый на обоих концах.
Откуда записать второе уравнение.

Мотивация для введения лагранжевой и гамильтоновой формулировок механики в том, что решаются задачи, которые не решаются (или решаются сложно) в ньютоновой формулировке.

Поэтому из педагогических целей хорошо бы привести пример похожей задачи, которая не решается в ньютоновой формулировке, но решается "красивой геометрической наукой". Или решение которой резко упрощается в "красивой геометрической науке".

Иначе остаётся непонятным, "зачем эти навороты в саратовском зоопарке".

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1674787 писал(а):

1. Типовой ход - записать уравнение связи и продифференцировать его по времени, откуда получить:
$\dot{x} = - \dot{y} \tg \alpha$

А почему Вы не дифференцируете $\alpha$?

EUgeneUS в сообщении #1674787 писал(а):

Поэтому из педагогических целей хорошо бы привести пример похожей задачи, которая не решается в ньютоновой формулировке, но решается "красивой геометрической наукой". Или решение которой резко упрощается в "красивой геометрической науке".

Стержни $AC$ и $CB$ разной длины и массы соединены друг с другом идеальным шарниром $C$ и соединены с направляющей идеальными шарнирами $A,B$. В стержень $CB$ стрельнули пулькой, удар абсолютно упругий. Найти скорости всех тел сращу после удара. Связи идеальны при ударе.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1674791 писал(а):

А почему Вы не дифференцируете $\alpha$?

Странный вопрос
Вот уравнение связи: $x^2 + y^2 = l^2$ его и дифференцируем.
Получаем: $\dot{x} = - \dot{y} \frac{y}{x}$
$\frac{y}{x} = \tg \alpha$

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1674792 писал(а):

Вот уравнение связи: $x^2 + y^2 = l^2$ его и дифференцируем.
Получаем: $\dot{x} = - \dot{y} \frac{y}{x}$
$\frac{y}{x} = \tg \alpha$

Понятно.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1674791 писал(а):

Стержни $AC$ и $CB$ разной длины

А можно посмотреть на решение (или план решения) в "красивой геометрической науке"?
В "ньютоновской" формулировке действительно получается громоздко. Особенно с массивными стержнями.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1674787 писал(а):

Догадаться, что импульс, переданный вдоль палки, одинаковый на обоих концах.

А как это вывести из условия задачи и известных школьнику теорем динамики?

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1674795 писал(а):

А как это вывести из условия задачи и известных школьнику теорем динамики?

1. Из

drzewo в сообщении #1674777 писал(а):

легким жестким неупругим стержнем

следует, что суммы сил и моментов, приложенных к стержню, равны нулям.

2. А значит силы, $\mathbf{T_{1,2}}$, приложенные к концам стержня, направлены вдоль стержня и $\mathbf{T_{1}}=-\mathbf{T_{2}}$

3. Далее 3-й закон Ньютона и интегрируем по времени удара.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1674794 писал(а):

А можно посмотреть на решение (или план решения) в "красивой геометрической науке"?
В "ньютоновской" формулировке действительно получается громоздко. Особенно с массивными стержнями.

Все такие задачи решаются одинаково, по одной формуле.

Пусть $x=(x_1,\ldots,x_m)^T$ -- обобщенные координаты в системе. В стартовом посте это $x_1,x_2$ . И пусть кинетическая энергия

$$T=\frac{1}{2}\dot x^TG(x)\dot x.$$

В системе из стартового поста

$$G=\mathrm{diag}\,\Big(2m+3m\tg^2\alpha,m\Big).$$

И пусть уравнение ударной поверхности это $f(x)=0$. В системе из стартового поста $f=x_1-x_2$.
Предположим абсолютно упругий удар происходит в точке $\tilde x$ и обобщенная скорость до удара равна $v^-$. В стартовом почте $v^-=(0,-v)^T$. Тогда обобщенная скорость после удара равна

$$v^+=(E-2P)v^-,$$

где

$$P=\frac{G^{-1}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)^T\frac{\partial f}{\partial x}} {\frac{\partial f}{\partial x}G^{-1}\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)^T}\Big|_{x=\tilde x},\quad \frac{\partial f}{\partial x}=\Big(\frac{\partial f}{\partial x_1}\ldots\frac{\partial f}{\partial x_m}\Big) $$

Если удар неупругий то

$$v^+=(E-P)v^-$$

[ESN]

Простите за идиотский вопрос, может быть, я неправильно понимаю условие. В исходной задаче муфты А и С после удара двигаются с одинаковыми скоростями? Или это может быть не так? Т.е. удар абсолютно неупругий или не абсолютно?

[EUgeneUS]

ESN в сообщении #1676508 писал(а):

Т.е. удар абсолютно неупругий или не абсолютно?

ИМХО, нужно считать абсолютно неупругим.

[lel0lel]

Про исходную задачу. Записать сохранение момента относительно вершины прямоугольника. Момент импульса системы сразу после удара такой же как и до удара, так как относительно выбранной точки моменты сил реакции равны нулю. Связь скоростей получается, если потребовать равенство проекций скоростей концов стержня на сам стержень (нерастяжимость).

[ESN]

А разве момент импульса системы относительно вершины прямого угла не равен нулю и до, и после удара?

[lel0lel]

ESN
Нужно достроить треугольник до прямоугольника, момент импульса записать относительно точки, в которой пересекаются возможные силы реакции опоры на грузы. Что-то типа:
$mv\ell \cos\alpha=3mu_1\ell\cos\alpha+3mu_2\ell\sin\alpha$ и связь скоростей $u_1\sin\alpha=u_2\cos\alpha.$

[ESN]

lel0lel, благодарю!
Не догадался, о каком центре шла речь.
Сам решал, подсчитывая изменение импульсов муфт.