Численные методы решения нелинейных ОДУ

[Ben]

Подскажите, пожалуйста, численные методы решения нелинейных ОДУ, которые не разрешаются относительно производной существуют?
Немного поясню. Я исследую режимы работы трансформатора с учетом нелинейной индуктивности.
$U - L(I,\frac{{dI}}{{dt}})\frac{{dI}}{{dt}} = 0$
При этом в выборе вида $ L(I,\frac{{dI}}{{dt}})$ достаточно много свободы и хочется попробовать разные подстановки и посмотреть на соответствующие фазовые портреты. Неожиданно, обнаружил, что численных методов под задачу в таком общем виде, вроде как и нет.

[drzewo]

Это естественно. Такая задача может оказаться, вообще говоря, некорректной. Думаю, что Вам придется самому что-то изобретать для Вашей конкретной задачи.

[Ben]

Да, я видел, что теорема существования и единственности перестает работать в случаях, когда д.у. имеет вид неявной функции. Была надежда, что кто-то скрестил методы решения алгебраических уравнений и разностную аппроксимацию производных.
Придется разбираться аналитически. Спасибо!

[EXE]

Ben в сообщении #1674217 писал(а):

Была надежда, что кто-то скрестил методы решения алгебраических уравнений и разностную аппроксимацию производных.

Решений может быть больше. А U от чего зависит?

[Vince Diesel]

Команда NDSolve в Mathematica умеет отслеживать несколько решений при отсутствии единственности. По крайней мере, в простых случаях.

[пианист]

EXE в сообщении #1674219 писал(а):

U от чего зависит?

Присоединяюсь к вопросу.
Например, если $U$ константа, то Ваше уравнение решается в квадратурах.

[Ben]

Если возбуждение первичной обмотки меандр (прямоугольник), то U константа. Только не долго, иначе в такой модели, ток I(t) улетит в бесконечность. А где посмотреть, как построить решение в квадратурах?

[пианист]

Я имел в виду, что
$\int_{I_0}^{I} \frac{d x}{\varphi (x)} = t - t_0$
где $\varphi$: $L(I,\varphi(I))\varphi(I) \equiv U$

[EUgeneUS]

Ben
Если Вам ехать (решать практические задачи), а не шашечки (решать нелинейные ДУ в общем виде), то посмотрите Главу 15 "Нелинейные электрические цепи переменного тока" у Бессонова.

[Ben]

Конечно "ехать", :) дальше, сам, спасибо!

[vicvolf]

Ben Погуглите - дифференциальные уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной

[EUgeneUS]

vicvolf в сообщении #1674460 писал(а):

дифференциальные уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной

ТС нужно урезать осетра. В том смысле, что индуктивность, зависящая от производной тока - это вычурно. Какой-то специальный случай, для которого не придумал примера.
Там вся нелинейность - это
А) насыщение магнитопровода
Б) гистерезис.
Что приближается для магнитомягких материалов:
А) шинусом
Б) ведением в эквивалентную схему сопротивления, отвечающего за потери в сердечнике.

[vicvolf]

Я не физик, поэтому не могу оценить вопрос ТС с этой точки зрения. Наверно в этом случае, он бы задал вопрос в другом разделе. Но вопрос был задан в математическом разделе и автор темы надеялся получить именно такую консультацию. Его интересовали численные методы решения дифференциального уравнения первого порядка с неявно выраженной производной для анализа фазовых портретов при различных видах нелинейности $L(I,I')$.
Первое, что надо сделать, это преобразовать данное нелинейное уравнение в дифференциально алгебраическую систему (ДАУ):
$U=L(I,p) \cdot p, \frac {dI}{dt} =p$.
Это позволяет использовать стандартные методы решения ДАУ: метод Эйлера (неявный) или методы Рунге-Кутты (неявные). Последний более точный и дает возможность оптимизации шага интегрирования.
Эти методы встроены в конкретные алгоритмические языки, например Python. Подробности я отослал ТС в почте.