Спираль

[dovlato]

Однородная тонкая проволока согнута в виде спирали

$$r(\varphi)=r_0 e^{\alpha \varphi}$$

$$(0\le\varphi\le 2\pi)$$

Найти её ЦМ, желательно без интегралов более сложных, чем от экспоненты.

[Утундрий]

dovlato в сообщении #1673500 писал(а):

без интегралов более сложных, чем от экспоненты.

Это ограничение на процесс решения?

[dovlato]

Я должен просить прощения коллег: задача решается всё же интегрированием хоть и стандартным, но, к сожалению, его уже не отнесёшь к просто школьной операции.

[drzewo]

(Оффтоп)

Придумать хорошую олимпиадную задачу по механике очень трудно, мне не больше десятка хороших задач удалось придумать. Но все-таки приемы типа <<этот метод использовать можно, а тот -- не смей>> -- это дурной тон имхо, пединститутские фокусы..

[dovlato]

Не понял. Вам требуется моё разрешение? Пожалуйста.
Самому досадно: казалось, что можно решить "почти без интегралов".

Наконец додумал. А то всё ещё сырое было.
Оказывается, задача действительно решается именно как и хотелось,
как и должно: "почти без интегралов".
Разумеется, никакой стандартный лагранжиан тут не поможет.
Пришлось проанализировать специфические свойства спирали.
Если требуется, приведу необходимые выкладки.

[realeugene]

(Оффтоп)

Интегрировать спираль в комплексной плоскости.

[dovlato]

Кстати, можно, видимо. Неожиданный ход. Мои соображения гл. образом векторные.

[realeugene]

(Оффтоп)

$$c=r_0 \frac {\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}e^{(2\alpha+i)\varphi}d\varphi} {\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}e^{\alpha\varphi}d\varphi}$$

[dovlato]

realeugene
Я сейчас не знаю, что сказать. Не уверен, что элемент дуги $dl$ в обоих интегралах один и тот же.
А это вроде бы необходимо для нормировки.

-- Ср фев 12, 2025 23:35:03 --

[realeugene]

dovlato в сообщении #1674526 писал(а):

Не уверен, что элемент дуги $dl$ в обоих интегралах один и тот же.

Вы правы, нужно ответ ещё поделить на $\sqrt {1+\alpha^2}$.
Хотя в числителе тот же коэффициент, то есть не надо.

В обоих случаях, масса элемента спирали пропорциональна $r\, d\varphi$.