x^{n-1} равномерная сходимость функционального ряда .

[AntonioVivaldi]

Пример 1.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} $$

не сходится равномерно на ( $-1,1$ ).
Доказательство. Предположим, что $\sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1}$ сходится равномерно на ( $-1,1$ ). Тогда $\left|x^{n-1}\right| \xrightarrow[n \rightarrow \infty]{(-1,1)} 0$. Но это не верно, так как $\sup _{x \in(-1,1)}|x|^{n-1}=1$ НЕ $\xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$.

Пример 2.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} $$

сходится равномерно на $[-q, q]$, где $0<q<1$.
Доказательство. $\left|r_n(x)\right|=\left|\left(S-S_n\right)(x)\right|=\left|\frac{1}{1-x}-\frac{1-x^n}{1-x}\right| \leqslant \frac{q^n}{1-q} \xrightarrow{n \rightarrow \infty} 0$.

--------

Понятно, что в первом примере действовали по определению. А со вторым что? Почему нужно оценить остаточный член?

[dgwuqtj]

Потому что это во втором примере действуют по определению. А в первом используется теорема о том, что у сходящегося ряда члены стремятся к 0.

[skobar]

AntonioVivaldi

В первом случае используется необходимое условие равномерной сходимости ряда:
Для того, чтобы ряд $\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}(x)$ сходился равномерно на некотором множестве $E$, необходимо, чтобы $a_{n}$ равномерно сходились к нулю на $E$ при $n\to \infty$.
См., например, Зорич или любой другой адекватный учебник матанализа.

Как уже было сказано выше, во втором примере просто используется определение равномерной сходимости ряда напрямую.

-- 05.02.2025, 10:25 --

dgwuqtj в сообщении #1673147 писал(а):

А в первом используется теорема о том, что у сходящегося ряда члены стремятся к 0.

Не совсем так.

[AntonioVivaldi]

dgwuqtj


Аа
Я поняла

Спасибо Вам большое

-- 06.02.2025, 08:26 --

skobar


Спасибо за подробный ответ !