Гармоничные аликвоты

[Утундрий]

Пусть среднее гармоническое некоторого набора (не всех одинаковых) натуральных чисел само есть число натуральное.

Например $( 19,342)$, $(3,26,312)$ или $(2,7,43,1806)$.

Сталкивался ли кто-нибудь с такими животными?

[Mihr]

Утундрий в сообщении #1672049 писал(а):

Сталкивался ли кто-нибудь с такими наборами?

В принципе, иногда сталкиваются школьники. Потому что в 19-й задаче ЕГЭ профильного уровня такие наборы (вместе с каким-нибудь относящимся к ним вопросом) иногда встречаются. А чем, собственно, такие наборы интересны Вам?

[Утундрий]

Да, собственно говоря, всем. Как называется, где почитать, где применяется... Перебор показывает, что для небольшого среднего $a$ число таких наборов конечно, но довольно быстро растёт с ростом $a$. Мне хотелось бы понять всё про эти наборы хотя бы до средних порядка ста.

[Booker48]

Утундрий в сообщении #1672049 писал(а):

...среднее геометрическое...

Наверное, стоит исправить.

[dgwuqtj]

Можно вспомнить про основную теорему арифметики и свести вопрос к наборам целых неотрицательных чисел (включая $0$), у которых уже среднее арифметическое является целым.

[Mihr]

Отмечу лишь, что такие наборы весьма просто генерировать. Я бы действовал так:
1. Выбираю $n$ - количество чисел $a_1, ... , a_n$, для которых стану строить среднее геометрическое.
2. Выбираю несколько простых чисел $p_1, ... , p_k$ - из них (путём перемножения) будут составлены числа $a_1, ... , a_n$.
3. Каждому из чисел $p_1, ... , p_k$ сопоставлю некоторое натуральное число $\alpha_1, ... , \alpha_k$, кратное $n$.
4. Беру $n$ пронумерованных "коробок" и как-нибудь разбрасываю по ним простые числа $p_1, ... , p_k$, взятые в количестве экземпляров $\alpha_1, ... , \alpha_k$ соответственно.
5. Перемножая для каждой "коробки" все попавшие в неё простые числа, получаю возможный набор чисел $a_1, ... , a_n$.

[Anton_Peplov]

Если под средним геометрическим чисел $x_1 \dots x_n$ я правильно понимаю $\left ( \prod\limits_{i=1}^{n} x_i \right )^{1/n}$, то ни один из наборов

Утундрий в сообщении #1672049 писал(а):

$( 19,342)$, $(3,26,312)$ или $(2,7,43,1806)$

не удовлетворяет условию

Утундрий в сообщении #1672049 писал(а):

среднее геометрическое некоторого набора (не всех одинаковых) натуральных чисел само есть число натуральное

[EUgeneUS]

Anton_Peplov в сообщении #1672075 писал(а):

не удовлетворяет условию

Видимо, в тексте опечатка. Правильно как в заголовке: гармоническое среднее

Утундрий

По сути это разложение дроби (возможно, сократимой) вида $\frac{n}{m}$ в египетскую дробь из $n$ слагаемых.

[Mihr]

EUgeneUS в сообщении #1672078 писал(а):

Правильно как в заголовке: гармоническое среднее

А, тогда всё, что я писал, не нужно.

[Утундрий]

Booker48 в сообщении #1672061 писал(а):

Утундрий в сообщении #1672049 писал(а):

...среднее геометрическое...

Наверное, стоит исправить.

Исправил.

Точно помню, что набирал "гармоническое". Автозамена, видимо.

[waxtep]

В англовики пишут:

Цитата:

The number of different n-term Egyptian fraction representations of the number one is bounded above and below by double exponential functions of n

и отсылают к статье 2014 г.

-- 30.01.2025, 16:03 --

оригинал статьи, доступен текст