Задачка по гидродинамике: источник в равномерном потоке

[Soshnikov_Serg]

Уважаемые Дамы и Господа!

Помогите разобраться в простой, казалось бы, задачке. Как-то я уже пробовал обсудить ее, но полного удовлетворения от полученного обсуждения не получил. Хотелось бы окончательно расставить все точки и уяснить для себя правильное решение.

Итак, постановка задачи. Пусть имеется неограниченный объем идеальной несжимаемой жидкости. Вся жидкость движется во скоростью $U_0$ в положительном направлении оси Z. Сила тяжести отсутствует. В точке с координатами (0,0,0) закреплен источник мощностью m (m – определяет массу жидкости, выбрасываемую источником в единицу времени. В случае покоящейся жидкости истечение из источника будет изотропным). Спрашивается, будет ли со стороны натекающей жидкости на источник действовать какая-либо сила, и если да, то куда она будет направлена?

Казалось бы, уже по формулировке задача должна быть чуть ли не классической. Однако, как не странно, последовательного решения ее в литературе мне найти не удалось. Поэтому и пытаюсь решать ее самостоятельно. В принципе, в ней возможны три варианта ответа:
- сила действует в направлении оси Z, т.е. по направлению течения жидкости ($F>0$);
- на источник не действует никакая сила ($F=0$);
- на источник действует сила, направленная против течения жидкости ($F<0$)

амое удивительное, что каждое из перечисленных утверждений может быть обосновано теоретически. Предлагаю рассмотреть каждое из решений. Но прежде несколько формул, против которых едва ли кто будет возражать.
Потенциал для двух течений в цилиндрической системе координат имеет вид:
$\varphi =U_0 z-\frac{m}{4 \pi \rho \sqrt{r^2+z^2}}$
Соответственно, скорости определяются формулами:
$V_z=U_0+\frac{m cos\theta}{4\pi \rho (r^2+z^2)}$
$V_r=\frac{m sin\theta}{4\pi \rho (r^2+z^2)}$
Давление вблизи источника можно определить из формулы:
$\Pi_0+\frac{\rho U_0^2}{2}=\Pi+\frac{\rho V_r^2}{2}+\frac{\rho V_z^2}{2}$
или $\Pi =\Pi_0+\frac{\rho U_0^2}{2}-\frac{\rho V_r^2}{2}-\frac{\rho V_z^2}{2}$

Итак, Вариант № 1. $F>0$

Самый примитивный вариант. Бездумно используем известную формулу:
$\overrightarrow{F}=-\oint \Pi d\overrightarrow{S}$
В качестве поверхности интегрирования выбираем сферу небольшого радиуса с центром на источнике. Производя элементарное интегрирование, получаем:
$F=\frac13 mU_0$

Вариант № 2. $F=0$

Один очень уважаемый человек, Zai, мне тут же указал на ошибку в расчетах, заметив, что при расчете силы, действующей на объект, в гидродинамике следует учитывать еще и потоки импульса. Предложил посмотреть книжку «Введение в динамику жидкости» Дж. Бэтчелора, стр.568-570, где эта задача решена и доказывается, что действующая на источник сила равна нулю. (Книжку я нашел вот здесь, формат – DJVU, весит 9 Мб)

Вариант № 3. $F<0$

Решение, приведенное в указанной книжке, мне показалось выполненным довольно безграмотно и бестолково. Поэтому, используя ту же методику, я подсчитал и поток импульса через выбранную мною поверхность. Результат меня несколько удивил, поскольку давал поправку к силе, равную
$ -\frac43 mU_0$
В итоге, действующая сила будет иметь значение:
$F=-mU_0$
Кстати, если бы у Бетчелора решение было бы более корректным, результат получился бы таким же.

Логика девятиклассника.

А теперь я предлагаю просто, без всяких формул, взглянуть на движение жидкости вблизи источника. Рассмотрим некоторую линию тока жидкости, выходящую, например, под острым углом к оси Z навстречу потоку. Выберем бесконечно малый объем жидкости, центр которого лежит на этой линии тока. По мере удаления от источника его скорость будет уменьшаться по абсолютной величине и постепенно поворачиваться в сторону положительного направления оси Z. Даже очень среднего образования современного девятиклассника будет достаточно, чтобы сказать, что сие суть результат действия силы, направленной вдоль положительного направления оси Z. Та же логика применима к любому элементу объема вблизи источника. И что же получается? На каждый элемент объема действует сила в направлении оси Z, а в целом на объем – в противоположном направлении? ПАРАДОКС? А может, проще не учитывать потоки импульса, поскольку последние как раз и будут формироваться под действием описанных сил?

Какое же решение является верным?

[Munin]

Я вот не понимаю, как вы от сил, действующих на жидкость, уже вышедшую из источника, делаете логический переход к силам, действующим на источник?

[Soshnikov_Serg]

Munin писал(а):

Я вот не понимаю, как вы ...?

Согласен, может быть формулировки не совсем корректные. На самом деле имеется ввиду сила, действующая на область жидкости вблизи источника, что собственно и вычисляется в 1-м варианте.
Однако замечу, что интеграл берется точно и его значение не зависит от радиуса поверхности интегрирования. Посему с какой-то определенностью и можно говорить о силе, действующей на источник.

[Zai]

Soshnikov_Serg писал(а):

Задачка по гидродинамике: источник в равномерном потоке

Сергей,
Сила со стороны внешей границы любого объема, включая объемы с источником равна поверхностному интегралу от давления с добавлением разности втекающего и вытекающего импульсов от реактивного движения жидкости. Переход от этого интегрального соотношения к дифференциальной даст вам уравнения Эйлера. Это можно прочитать практически во всех монографиях по газовой динамике.
О потенциальных течениях жидкости. Внеший равномерный поток обтекает любую композицию источников и стоков с нулевой силой. Это показал Бэтчелор в свой монографии. У него ошибок нет. Внутреннее течение от источника, которое Вы рассматривали до летних каникул ввиду простоты предложенной Вами композиции источника и равномерного течения несколько нефизично. Вы предполагаете, что изначально из симметричного источника исходит тот же равномерный поток, что и на бесконечности. То есть из источника из смежного пространства перекачивается не только масса, но и импульс. Вам нужно как то контролировать импульс из источника, возможно задавая диполь или какие-то другие сшивки.

[Soshnikov_Serg]

Здравствуйте!
Не смог сразу ответить. Обдумывал несколько.

Zai писал(а):

Сила со стороны внешей границы любого объема, включая объемы с источником равна поверхностному интегралу от давления с добавлением разности втекающего и вытекающего импульсов от реактивного движения жидкости. Переход от этого интегрального соотношения к дифференциальной даст вам уравнения Эйлера. Это можно прочитать практически во всех монографиях по газовой динамике.

Ну, это - понятно. Меня лишь смущает то обстоятельство, что мой-то интеграл - ненулевой. Неправильно выбираю поверхность?

Zai писал(а):

О потенциальных течениях жидкости. Внеший равномерный поток обтекает любую композицию источников и стоков с нулевой силой. Это показал Бэтчелор в свой монографии. У него ошибок нет.

Собственно, Бетчелор выбрал достаточно "хитрую" поверхность. Поток импульса из цилиндра можно не учитывать, поскольку он "съедается" расположенным на бесконечности стоком.

Zai писал(а):

Внутреннее течение от источника, которое Вы рассматривали до летних каникул ввиду простоты предложенной Вами композиции источника и равномерного течения несколько нефизично. Вы предполагаете, что изначально из симметричного источника исходит тот же равномерный поток, что и на бесконечности. То есть из источника из смежного пространства перекачивается не только масса, но и импульс. Вам нужно как то контролировать импульс из источника, возможно задавая диполь или какие-то другие сшивки.

Понятно. У Бетчелора источник контролируется стоком. Собственно, сам "цилиндр" у него существует сам по себе. Поток лишь обтекает его.
Я-то предствалял себе все немного по-другому. В покоющейся жидкости в некоторый момент включают источник. По сути, он будет работать на увеличение объема жидкости. А потом - включаем поток...
Не физично? Ну, согласен. А другой вариант: есть неограниченный объем жидкости, в котором достаточно равномерно и далеко друг от друга размещены источники и стоки, так, что вблизи некоторого источника его линии тока жидкости будут изотропны. Можем мы вблизи него организовать поток жидкости?
В целом же Вы, кажется, убедили меня. До ума дошло, до сердца - почти. Однако и идею подсказали оч-чень хорошую. Спасибо большое!!!