Построение общих касательных эллипса и окружности

[va4293189]

Первоисточник данной проблемы: https://vos.olimpiada.ru/upload/files/Arhive_tasks/2021-22/reg/phys/ans-phys-11-teor-reg-21-22.pdf, задача 5 (на странице 11)
Проблема состоит в том, что авторам очевидно, как строить общие внутренние касательные эллипса и окружности ("стандартное построение"), но я нигде не могу найти этого.
Есть несколько методов, как строить касательные к эллипсу из точки. Самый простой из них (который я знаю) - через вспомогательную окружность:

Основан на свойстве: если $E$ лежит на окружности $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $a$ (большая полуось эллипса), то перпендикуляр к $F_1E$ будет касательной к эллипсу. Построение вспомогательной окружности $\omega_1$ (с центром в точке $B$ - середине $CF_1$ и радиусом $BC$) всего лишь позволяет найти точку E как пересечение $\omega$ и $\omega_1$, чтобы $\angle {CEF_1} = 90^{\circ}$
Я пытался обобщить это построение на случай построения общих касательных эллипса и окружности $\omega_0$ (с центром в точке $C$ и радиусом $R_0$):

Формально цель следующая:
Найти точку $D$, лежащую на окружности $\omega_1$, для которой $R_0 = DH$ ($H$ точка пересечения продолжения прямой $F_1D$ за точку $D$ и окружности $\omega$). Иными словами: чтобы четырёхугольник $CDHI$ был прямоугольником ($I$ - точка пересечения прямой, параллельной $F_1D$ и проходящей через точку $C$, и окружности $\omega_0$; равенство $R_0 = DH$ даёт то, что это параллелограм, и $\angle {CDH} = 180^{\circ} - \angle{CDF_1} = 90^{\circ}$)

Подскажите, пожалуйста, как находить эту точку $D$. Или, быть может, есть какой-либо другой, более простой способ построение общих касательных, который Вы знаете, а я нет...
P.S. Рассуждения для внутренних касательных легко обощить - просто брать точку $H$ как пересечение продолжения $F_1D$ за точку $F_1$ и окружности $\omega$. Но от этого не легче (

[dgwuqtj]

Разве вообще можно найти общую касательную циркулем и линейкой? Даже если разрешить брать пересечения эллипса с произвольными построенными окружностями.

[va4293189]

Вероятно как-то можно, раз эта задача была на ШКОЛЬНОЙ олимпиадке... и вероятно какие то дети ее решили...
Ну если нельзя, то как доказать что нельзя? Мыслей вообще нет(
Ах да, вот этот способ с построением окружности $\omega$ позволяет абстрагироваться от эллипса - это его большой плюс... Поэтому я пытался развивать именно его

[dgwuqtj]

Я не знаю, можно или нельзя, но очевидные способы не работают. И я думаю, что дети вряд ли описывали построение самих касательных.

Доказательство невозможности, если оно существует, могло бы начинаться так. Задача об общих касательных легко сводится к решению уравнения 4 степени. В общем случае (а для эллипса с трансцендентным эксцентриситетом должен быть общий случай) она не решается только циркулем и линейкой. Но у нас есть ещё возможность пересекать эллипс и окружности, что даёт возможность решать какие-то уравнения 4 степени. Дальше всё становится слишком сложным для меня. Можно попробовать явно написать, какие уравнения решаются (т.е. какие кубические корни мы можем извлекать) благодаря пресечениям, и какое надо решить, вдруг они случайно совпадут и будет построение.

Если что, точки эллипса, через которые проходят общие касательные, — это его точки пересечения с некой гиперболой. Гиперболу мы строить не умеем, только конечное число точек на ней (а также асимптоты, фокусы, и т.д.). В пучке из эллипса и этой гиперболы окружности не будет.

[dgwuqtj]

Кстати, касательные к эллипсу из точки $P$ можно строить вообще без циркуля. Проведём пару прямых через $P$, пересекающих эллипс в точках $A_1, A_2, B_1, B_2$ ($A_i$ лежат на одной прямой, $B_i$ — на другой). Проведём прямую через точки $A_1 B_1 \cap A_2 B_2$ и $A_1 B_2 \cap A_2 B_1$. Тогда эта прямая пересечёт эллипс в точках касания касательных из $P$. Итого 7 прямых для нахождения точек касания и ещё 2 прямые для самих касательных. Не нужны ни центр эллипса, ни фокусы.