Рождение экспоненты из духа Ньютона

[Утундрий]

$$\dfrac{(x+y)^n}{n!}=\sum\limits_{s=0}^n \dfrac{x^s}{s!}\dfrac{y^{n-s}}{(n-s)!}$$

$\Rightarrow$

$$\sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(x+y)^n}{n!}=\sum\limits_{n=0}^\infty \sum\limits_{s=0}^n \dfrac{x^s}{s!}\dfrac{y^{n-s}}{(n-s)!}=\sum\limits_{s=0}^\infty \sum\limits_{n=s}^\infty \dfrac{x^s}{s!}\dfrac{y^{n-s}}{(n-s)!}= \left( \sum\limits_{s=0}^\infty \dfrac{x^s}{s!} \right)\left( \sum\limits_{m=0}^\infty \dfrac{y^m}{m!} \right) $$

[drzewo]

Функция $f(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{k!}$ удовлетворяет задаче Коши

$$f'=f,\quad f(0)=1.$$

В силу группового свойства решений ОДУ и ввиду линейности задачи, имеем $f(z_1+z_2)=f(z_1)f(z_2)$

[Утундрий]

Идея в том, чтобы прийти к экспоненте. Как правило её тупо постулируют.

P. S. Решил узнать, что думает "наимудрейший"? Скопировал текст сообщения и, никак не правя, швырнул ему в жерло (жорло?) и вот что он выдал:

(Оффтоп)

Цитата:

1. Исходное выражение:

$$ \frac{(x+y)^n}{n!} = \sum_{s=0}^n \frac{x^s}{s!}\frac{y^{n-s}}{(n-s)!}. $$

Это разложение бинома в удобной форме через факториалы. Оно выражает, как каждая степень $ (x+y)^n $ распределяется по $ x $ и $ y $.

2. Суммирование по $ n $ от $0$ до бесконечности:

$$ \sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \sum_{s=0}^n \frac{x^s}{s!}\frac{y^{n-s}}{(n-s)!}. $$

Здесь мы добавили бесконечное суммирование по $ n $, чтобы работать с экспоненциальными рядами.

3. Замена порядка суммирования:

$$\sum_{n=0}^\infty \sum_{s=0}^n \frac{x^s}{s!}\frac{y^{n-s}}{(n-s)!} = \sum_{s=0}^\infty \sum_{n=s}^\infty \frac{x^s}{s!}\frac{y^{n-s}}{(n-s)!}. $$

Это ключевой шаг, где меняется порядок сумм. Теперь сначала суммируем по $ s $, а затем по $ n $.

4. Применение замены $ m = n-s $:

$$ \sum_{s=0}^\infty \sum_{n=s}^\infty \frac{x^s}{s!}\frac{y^{n-s}}{(n-s)!} = \sum_{s=0}^\infty \frac{x^s}{s!} \sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!}. $$

Здесь $ m = n-s $, и сумма по $ m $ идёт от $0$ до бесконечности. Это преобразование разделяет ряд на два независимых множителя.

5. Результат:

$$ \left( \sum_{s=0}^\infty \frac{x^s}{s!} \right)\left( \sum_{m=0}^\infty \frac{y^m}{m!} \right). $$

А это — произведение двух экспоненциальных рядов:

$$ e^x \cdot e^y = e^{x+y}. $$

Итог: Это преобразование наглядно показывает, почему произведение экспоненциальных рядов $ e^x $ и $ e^y $ равно $ e^{x+y} $.

P.P.S. Обратите внимание на п.4.