Полупрямое произведение конечных групп

[Naf2000]

Всякая ли конечная группа, не являющаяся простой, может быть представлена как полупрямое произведение своих нетривиальных (отличных от единичной и самой группы) подгрупп?

[mihaild]

$\mathbb Z_4$

[Naf2000]

Согласен. Так себе вышло. А если добавить не абелева группа?

[dgwuqtj]

У группы $\mathrm{SL}(2, 5)$ есть единственная нетривиальная нормальная подгруппа $\mathrm C_2$, фактор-групп простая (изоморфна $\mathrm A_5$), но в саму группу эта фактор-группа не поднимается. Иначе бы она была прямым произведением.

[mihaild]

Q

[Naf2000]

Всем спасибо за контрпримеры

[B@R5uk]

Naf2000, существует необходимое и достаточное условие того, что конечная группа G представима в виде (полупрямого или прямого) произведения её нормальной подгруппы N на фактор-группу по ней. Условие следующее: должна существовать такая подгруппа F группы G, что выполняются два условия:

$$F\simeq G/N,\quad N\cap F=\{I\}$$

где I — нейтральный элемент группы G. Где-то тут на форуме в одной из моих старых тем даже доказательство обсуждается.