Замкнутые траектории

[drzewo]

Движение частицы по плоскости с полярными координатами $(r,\varphi)$ описывается уравнениями Лагранжа с лагранжианом

$$L=\frac{1}{2}(a\dot r^2+r^2\dot\varphi^2)+\frac{1}{r}.$$

Здесь $a$ -- положительная константа.
Найти все значения параметра $a$ при каждом из которых все ограниченные траектории частицы, кроме траекторий приходящих в начало координат, будут периодическими.

[Утундрий]

$a=\dfrac 1 {n^2}$, где $n=1,2,3,\ldots$

[drzewo]

$\sqrt a\in\mathbb{Q}$

[Утундрий]

$r=r\left( \cos \dfrac {\varphi}{\sqrt a} \right) \Rightarrow \quad ?

[drzewo]

https://storage4u.ru/file/2025/01/19/cf0235f5d6f4c1b0389596bf944e583f.pdf

[Утундрий]

Согласен.

[drzewo]

Задача 2. Найти период замкнутой траектории с уровнем энергии $h$.
Параметр $a$ известен.