Киевские олимпиада и отборы - 2006

[dm]

LXI Киевская городская олимпиада юных математиков
7 класс

1. Является ли простым число
$(1+2+3+\ldots+2004+2005)^{2006}+(1+2+3+\ldots+2005+2006)^{2005}$?

2. На плоскости заданы точки $A,B,C$ такие, что $0 < AB \le AC \le BC = 1$. При каком расположении этих точек сумма расстояний между ними принимает
а) наибольшее возможное значение;
б) наименьшее возможное значение?

3. Существует ли 11-значное число, которое имеет такое свойство: если к нему прибавить 11-значное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, то все цифры суммы будут нечетными?

4. Есть 9 карточек с написанными на них числами $1, 2, 3, \ldots, 9.$ Двое игроков по очереди берут какую-то еще не использованную карточку и кладут ее на стол. Если после очередного хода одного из игроков сумма чисел на карточках, которые уже лежат на столе, нечетная, то один балл получает первый игрок, а если четная, то второй. Каждый игрок стремится набрать как можно больше баллов. Какое наибольшее количество баллов может набрать первый игрок при правильной игре?

Киев, 15 января 2006 г.


LXI Киевская городская олимпиада юных математиков
8 класс

1. Решить уравнение
${\displaystyle\frac{(x-1)(x^2-2^2)(x^4-4^4)(x^8-8^8)}{x^2-6x+8}=0.}$

2. Про натуральные числа $a, b, c$ известно, что ${\displaystyle\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{2b+c}=\frac{1}{5b}.}$ Доказать, что число $ac+1$ не делится на 3.

3. На катетах $AB,$ $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбраны точки $M$ и $N$ соответственно таким образом, что $\angle MBC=\angle NAC.$ Перпендикуляры, опущенные из точек $M$ и $C$ на прямую $AN,$ пересекают $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Доказать, что $KL=LB.$

4. На плоскости сидят несколько жуков. Назовем точку отмеченной, если она является серединой некоторого отрезка, в концах которого сидят жуки, но в самой точке не сидит жук. Может ли произойти, что после прилета еще одного жука количество отмеченных точек уменьшится?

5. В стране гномов есть 200 пещер, некоторые из которых соединены туннелями. Начиная с 1 января 2006 года гномы каждый день засыпают все старые туннели и роют новые туннели между каждой парой пещер, из которых накануне выходило одинаковое количество туннелей. В некоторых $N$ пещерах живет по одному супергному. При каком наименьшем $N$ некоторые два из них когда-нибудь точно смогут встретиться?

Киев, 15 января 2006 г.


LXI Киевская городская олимпиада юных математиков
9 класс

1. Решить уравнение
${\displaystyle\frac{(x-1)(x^2-2^2)(x^4-4^4)(x^8-8^8)}{x^3-3x^2-6x+8}=0.}$

2. Про натуральные числа $a, b, c$ известно, что ${\displaystyle\frac{1}{a+2b}+\frac{1}{2b+4c}=\frac{1}{2c}.}$ Доказать, что число $ab+bc+ac+1$ не делится на 3.

3. Натуральные числа, у которых нечетное количество делителей, покрасили в желтый цвет, а натуральные числа, у которых четное количество делителей - в синий. Существует ли такое натуральное число $a,$ что все числа вида $an+1,\ n\ge1$ имеют одинаковый цвет?

4. На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ отметили точки $E$ и $F$ соответственно. На его диагоналях $AC$ и $BD$ выбрали точки $M$ и $N$ таким образом, что $EM\|BD$ и $FN\|AC.$ Доказать, что прямые $AF, DE$ и $MN$ пересекаются в одной точке.

5. Клетки доски $7\times 7$ занумерованы в некотором порядке числами от 1 до 49. На одной из этих клеток стоит фишка. За один шаг разрешается передвинуть ее влево, вправо, вверх или вниз на соседнюю клетку, которая имеет больший номер. Всегда ли можно
а) не более чем за 28 ходов,
б) не более чем за 30 ходов получить позицию, в которой фишку уже нельзя передвинуть?

Киев, 15 января 2006 г.


LXI Киевская городская олимпиада юных математиков
10 класс

1. Натуральные числа, у которых нечетное количество делителей, покрасили в желтый цвет, а натуральные числа, у которых четное количество делителей - в синий. Существует ли бесконечная арифметическая прогрессия, которая содержит числа только одного цвета?

2. Решить неравенство $\cos 3x+2\cos 2x+ 3\cos x+2\le0.$

3. Пусть функция $f$ определена на множестве натуральных чисел, принимает натуральные значения и при всех $n\ge1$ удовлетворяет условию $2+f(n+1)=f(n)+(n+f(n))^2.$ Доказать, что если $f(1)\ne 1,$ то $f(f(1))$ делится на $f(1)+1.$

4. В остроугольный треугольник $\triangle ABC$ вписана окружность $\omega,$ которая касается стороны $BC$ в точке $K$. На прямых $AB$ и $AC$ выбрали точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $PK \bot AC$ и $QK \bot AB.$ Обозначим $M$ и $N$ точки пересечения $KP$ и $KQ$ с окружностью $\omega.$ Доказать, что если $MN\|PQ,$ то треугольник $\triangle ABC$ равнобедренный.

5. В некоторых клетках доски $n\times n, \ n \ge3,$ стоит по одной мине. Назовем весом клетки количество мин в ней и соседних с ней клетках (клетки являются соседними, если имеют общую вершину). В начале игры ведущий узнает расположение мин и сообщает игроку вес некоторых $n$ клеток по собственному выбору. Игрок должен для каждой клетки доски сказать есть ли там мина. Если он для некоторой клетки говорит это неверно, то проигрывает, а если верно, то ведущий сообщает ему вес и этой клетки. Может ли игрок до начала игры так договориться с ведущим, чтобы точно не проиграть?

Киев, 15 января 2006 г.


LXI Киевская городская олимпиада юных математиков
11 класс

1. Дорога между городами А и Б сначала идет под гору, а потом такое же расстояние в гору. Мотоциклист едет под гору вдвое быстрее, чем в гору. Когда он проехал весь путь, то оказалось, что на первые 100 км пути у него ушло в полтора раза меньше времени, чем на последние 100 км. Какое расстояние между городами А и Б?

2. Решить уравнение $2^{4^{8^x}}=4^{8^{5^x}}$.

3. Пусть $O$ — центр окружности $\omega,$ описанной вокруг остроугольного треугольника $\triangle ABC,$ $W$ — середина той дуги $BC$ окружности $\omega,$ которая не содержит точку $A$ и $H$ — точка пересечения высот треугольника $\triangle ABC$. Найти угол $\angle BAC,$ если $WO=WH.$

4. Для положительных чисел $x,y,z$ таких, что $xy+xz+yz = 1,$ доказать неравенство

$$\frac{x^3}{1+9y^2xz}+\frac{y^3}{1+9z^2yx} + \frac{z^3}{1+9x^2yz} \ge \frac{(x+y+z)^3}{18}.$$

5. У Кирилла и Мефодия есть энциклопедия из $n$ томов, занумерованных числами $1, 2,\ldots, n.$ Эти тома стоят на полке не обязательно в порядке возрастания номеров. Кирилл считает количество $K$ пар томов, в которых том, который стоит левее, имеет больший номер. Мефодий для каждого тома находит модуль разности номера этого тома и номера места, на котором он стоит, и вычисляет сумму $M$ полученных чисел. Например, при расположении томов 2, 3, 5, 4, 1 имеем $K=5,$ потому что неправильно стоят пари томов (2,1), (3,1), (5,4), (5,1) и (4,1), а $\ M=|2-1|+|3-2|+|5-3|+|4-4|+|1-5|=8.$
а) Доказать, что при любом расположении томов $K\le2M.$
б) Доказать, что если тома стоят не в порядке возрастания
номеров, то $K\ge M+1.$

Киев, 15 января 2006 г.

[cepesh]

Порешать предлагаешь?

[dm]

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
I тур. 31 января 2006 г.
8 класс

1. В вершинах и серединах сторон квадрата растут дубы и березы. Обязательно ли обнаружится прямоугольный треугольник, во всех вершинах которого деревья одинаковы?

2. Доказать, что существует бесконечно много пар целых чисел $a, b$, таких, что $a^3+1$ делится на $b$ и $b^3+1$ делится на $a.$

3. На гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ отметили точки $D$ и $E$ такие, что $\angle DCE=45^{\circ},$ $AD=8$ и $BE=9.$ Найти $AB.$

4. Двое игроков поочередно называют натуральные числа, меньшие $10^{4}$, так, чтобы сумма цифр каждого числа, начиная со второго, была делителем предыдущего числа. Проигрывает тот, кто вынужден повторить уже названное число. Имеет ли кто-то из игроков выигрышную стратегию? Если имеет, то кто?

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
I тур. 31 января 2006 г.
9 класс

1. На гипотенузе $AB$ равнобедренного прямоугольного треугольника $\triangle ABC$ отметили точки $D$ и $E$ такие, что $\angle DCE=45^{\circ},$ $AD=3$ и $AE=8.$ Найти $AB.$

2. Двое игроков поочередно называют натуральные числа, меньшие $10^{4}$, так, чтобы сумма цифр каждого числа, начиная со второго, была делителем предыдущего числа. Проигрывает тот, кто вынужден повторить уже названное число. Имеет ли кто-то из игроков выигрышную стратегию? Если имеет, то кто?

3. Пусть $a, b, c$ — положительные числа такие, что $a+b+c=1.$ Доказать неравенство
$a\sqrt{1+b-c}+b\sqrt{1+c-a}+c\sqrt{1+a-b}\le1.$

4. Доказать, что существует бесконечно много пар целых чисел $a, b$, таких, что $a^2+1$ делится на $b$ и $b^2+1$ делится на $a.$

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
I тур. 31 января 2006 г.
10 класс

1. Пусть $a, b, c$ — положительные числа такие, что $a+b+c=1.$ Доказать неравенство
$a\sqrt[5]{1+b-c}+b\sqrt[5]{1+c-a}+c\sqrt[5]{1+a-b}\le1.$

2. Выпуклый $N$-угольник разбили диагоналями на $N-2$ треугольника. Назовем треугольник разбиения внешним, если две его стороны являются сторонами $N$-угольника, и внутренним, если таких сторон вообще нет. Доказать, что внешних треугольников всегда ровно на два больше, чем внутренних.

3. Пусть $ABCD$ - трапеция, окружность $\omega_1$ с центром $O_1$ вписана в треугольник $\triangle ABD$, а окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается стороны $CD$ и продолжений сторон $BC$ и $BD$ треугольника $\triangle BCD$, причем $AD \parallel O_1O_2 \parallel BC$. Доказать, что $AC=O_1O_2$.

4. Доказать, что существует бесконечно много пар целых чисел $a, b$, таких, что $a^2+1$ делится на $b$ и $b^2+1$ делится на $a.$

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
I тур. 31 января 2006 г.
11 класс

1. Выпуклый $N$-угольник разбили диагоналями на $N-2$ треугольника. Назовем треугольник разбиения внешним, если две его стороны являются сторонами $N$-угольника, и внутренним, если таких сторон вообще нет. Доказать, что внешних треугольников всегда ровно на два больше, чем внутренних.

2. Пусть $ABCD$ - трапеция, окружность $\omega_1$ с центром $O_1$ вписана в треугольник $\triangle ABD$, а окружность $\omega_2$ с центром $O_2$ касается стороны $CD$ и продолжений сторон $BC$ и $BD$ треугольника $\triangle BCD$, причем $AD \parallel O_1O_2 \parallel BC$. Доказать, что $AC=O_1O_2$.

3. Для произвольных чисел $a, b, c\ge0$ доказать неравенство

\[\sqrt{a^4+\frac{b^4}{2}+\frac{c^4}{2}}+\sqrt{b^4+\frac{c^4}{2}+\frac{a^4}{2}}+ \sqrt{c^4+\frac{a^4}{2}+\frac{b^4}{2}}\ge \sqrt{a^4+b^3c}+\sqrt{b^4+c^3a}+\sqrt{c^4+a^3b.}\]

4. Доказать, что существует бесконечно много пар целых чисел $a, b$, таких, что $a^{2006}+1$ делится на $b$ и $b^{2006}+1$ делится на $a.$

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
II тур. 3 февраля 2006 г.
8 класс.

1. На доске написаны числа $2-\sqrt{2},$ $1$ и $2\sqrt{2}+3.$ Разрешается заменять произвольные числа $a$ и $b$ на числа $\frac{a+b}{2}$ и $\sqrt{ab}.$ Можно ли за несколько таких замен получить на доске числа $\sqrt{2}-1,$ $2$ и $3\sqrt{2}+2$?

2. Существует ли натуральное число, которое делится на 2006 и в десятичной записи которого каждая из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 встречается хотя бы по 100 раз?

3. Вокруг четырехугольника $ABCD$ можно описать окружность. На сторонах $AB$ и $AD$ отметили точки $P$ и $Q$ соответственно так, что $AP=CD$ и $AQ=BC.$ Пусть $N$ - середина $BD.$ Доказать, что $PQ=2CN.$

4. В компании из $2N$ мальчиков и 6 девочек для каждой пары девочек ровно $N$ мальчиков знакомы с одной из них и не знакомы с другой. Доказать, что количество мальчиков, знакомых со всеми девочками, не превышает $\frac{N}{3}.$

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
II тур. 3 февраля 2006 г.
9 класс

1. Существует ли натуральное число, которое делится на 2006 и в десятичной записи которого каждая из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0 встречается хотя бы по 100 раз?

2. Решить систему уравнений
$\left\{ \begin{array}{rl} \sqrt{x^2+y^2+4x+4}+\sqrt{x^2+y^2-4y+4}&=2\sqrt{2}, \\ \sqrt{x^2+y^2+4x+4y+8}+\sqrt{x^2+y^2-8y+16}&=2\sqrt{10}. \end{array} \right.$

3. В компании из $2N$ мальчиков и 6 девочек для каждой пары девочек ровно $N$ мальчиков знакомы с одной из них и не знакомы с другой. Доказать, что количество мальчиков, знакомых со всеми девочками, не превышает $\frac{N}{3}.$

4. На окружности $\omega$ выбрали точки $A, B, C$ и $D$ так, что касательные к окружности $\omega$ в точках $A$ и $B$ и прямая $CD$ пересекаются в точке $K.$ На прямых $AC$ и $AD$ выбрали точки $E$ и $F$ соответственно так, что прямая $EF$ проходит через точку $B$ и $EF\parallel KA.$ Доказать, что $BE=BF.$

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
II тур. 3 февраля 2006 г.
10 класс

1. Решить систему уравнений
$\left\{ \begin{array}{rl} \sqrt{x^2+y^2+4x+4}+\sqrt{x^2+y^2-4y+4}&=2\sqrt{2}, \\ \sqrt{x^2+y^2+4x+4y+8}+\sqrt{x^2+y^2-8y+16}&=2\sqrt{10}. \end{array} \right.$

2. В последовательности натуральных чисел каждое следующее число образуется из предыдущего прибавлением его наибольшего делителя, который является квадратом. Например, после 20 должно идти $20+4=24.$ Доказать, что если ни одно число в последовательности не делится на $2006^2,$ то лишь конечное количество чисел последовательности может делиться на 2006.

3. На окружности $\omega$ выбрали точки $A, B, C$ и $D$ так, что касательные к окружности $\omega$ в точках $A$ и $B$ и прямая $CD$ пересекаются в точке $K.$ На прямых $AC$ и $AD$ выбрали точки $E$ и $F$ соответственно так, что прямая $EF$ проходит через точку $B$ и $EF\parallel KA.$ Доказать, что $BE=BF.$

4. В компании из $2N$ мальчиков и 2005 девочек для каждой пары девочек ровно $N$ мальчиков знакомы с одной из них и не знакомы с другой. Доказать, что количество мальчиков, знакомых со всеми девочками, не превышает $\frac{N}{1003}.$

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
II тур. 3 февраля 2006 г.
11 класс

1. В последовательности натуральных чисел каждое следующее число образуется из предыдущего прибавлением его наибольшего делителя, который является квадратом. Например, после 20 должно идти $20+4=24.$ Доказать, что если ни одно число в последовательности не делится на $2006^2,$ то лишь конечное количество чисел последовательности может делиться на 2006.

2. Пусть $I$ - центр окружности, вписанной в треугольник $\triangle ABC.$ Прямые $AI,$ $BI$ и $CI$ пересекают окружность $\omega,$ описанную около треугольника $\triangle ABC,$ во второй раз в точках $D,$ $E$ и $F$ соответственно. Пусть $DK$ - диаметр окружности $\omega$ и $N$ - точка пересечения $KI$ с $EF.$ Доказать, что $KN=IN.$

3. В компании из $2N$ мальчиков и 2005 девочек для каждой пары девочек ровно $N$ мальчиков знакомы с одной из них и не знакомы с другой. Доказать, что количество мальчиков, знакомых со всеми девочками, не превышает $\frac{N}{1003}.$

4. Для каких натуральных чисел $n\ge2$ существует многочлен $f(x)=a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n,$ где $\{a_1, \ldots, a_n\}$ - некоторая перестановка чисел $\{1, \ldots, n\},$ который имеет $n-1$ действительных корней?

3 тур отборов на Всеукраинскую олимпиаду из математики
7 февраля 2006 года

8 класс

1. Двое игроков поочередно записывают в 24 клетки поверхности куба числа (каждое число записывается ровно один раз). Второй игрок побеждает, если суммы чисел в клетках каждого кольца из клеток, которое обматывает куб, являются одинаковыми, иначе побеждает первый игрок. Кто из игроков может обеспечить себе победу?

2. На плоскости задана прямая, на которой выбраны $2n\,$ точек. Еще $n\,$ точек выбраны вне этой прямой. Всегда ли можно построить $n\,$ треугольников без общих точек с вершинами в заданных точках?

3. Найти все простые числа $p$, при которых число $\sqrt {5^p+4p^4} $ является целым.

4. В племени Мумбо-Юмбо каждое слово записывается десятью буквами, каждая из которых ,,М'' или ,,Ю''. Два слова являются синонимами, если одно из них можно получить из другого с помощью таких операций: из слова вычеркивается несколько букв, которые идут подряд и среди которых парное количество букв ,,М'', и на их место записывают вычеркнутые буквы в обратном порядке. Найдите максимальное количество разных слов племени, среди которых нет синонимов.

9 класс

1. Рассмотрим треугольник $\Delta ABC$ и точку $D$, что принадлежит стороне $BC$. Обозначим $P,Q$ точки пересечения высот треугольников $\Delta ABD$ и $\Delta ADC$. Для каких точек $D$ треугольники $\Delta ABC$ и $\Delta DPQ$ являются подобными?

2. См. задачу 8.3.

3. Пусть $a,b,c\,$ -- попарно разные положительные действительные числа. Докажите, что уравнение

\[ \left( {a+b+c} \right)x^2+2\left( {\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}} \right)x+\left( {\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \right)=0 \]

имеет два разных действительных корня.

4. См. задачу 8.4.

10 класс

1. См. задачу 9.3.

2. О натуральном числе $n>1$ и простом числе $p$ известно, что $p-1$ делится на $n\,$ и $n^3-1$ делится на $p$. Докажите, что число $\sqrt {4p-3} $ является целым.

3. См. задачу 8.4.

4. Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность, $AC\vert \vert DE$ и $M$ -- середина диагонали $BD$. Доказать, что если $\angle AMB=\angle BMC$, то прямая $BE$ делит диагональ $AC$ пополам.

11 класс

1. Доказать, что для двух произвольных треугольников со сторонами $a,b,c\,$ и $x,y,z\,$ соответственно выполняется неравенство

$$a^2(by+cz-ax)+b^2(cz+ax-by)+c^2(ax+by-cz)>0.$$

2. См. задачу 10.2.

3. См. задачу 8.4.

4. См. задачу 10.4.

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
IV тур. 14 февраля $2\heartsuit\heartsuit6$ г.
8 класс

1. В стране есть 2006 городов, некоторые из которых соединены авиарейсами. Известно, что всего есть 1000000 авиарейсов. Обязательно ли найдутся три города, каждые два из которых соединены авиарейсом?

2. Какое наибольшее количество изображенных фигурок можно вырезать из квадратной доски $8\times8$? Фигурки можно как угодно вращать.
\begin{picture}(20,12) \put(0,2){\put(0,0){\line(1,0){14}}\put(0,7){\line(1,0){21}} \put(7,14){\line(1,0){14}}\put(14,21){\line(1,0){7}} \put(21,7){\line(0,1){14}}\put(14,0){\line(0,1){21}}\put(7,0){\line(0,1){14}} \put(0,0){\line(0,1){7}}} \end{picture}

3. Найти все натуральные числа $n$ и простые числа $p, q$ такие, что $p(p+3)+q(q+3)=n(n+3).$

4. Пусть $O$ - середина стороны $AB$ треугольника $\triangle ABL.$ Срединные перпендикуляры, проведенные к отрезкам $AO$ и $BL,$ пересекаются в точке $V,$ а срединные перпендикуляры, проведенные к отрезкам $AL$ и $BO,$ пересекаются в точке $E.$ Доказать, что $LO\bot VE.$

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
IV тур. 14 февраля $2\heartsuit\heartsuit6$ г.
9 класс

1. Какое наибольшее количество изображенных фигурок можно вырезать из квадратной доски $8\times8$? Фигурки можно как угодно вращать.
\begin{picture}(20,12) \put(0,2){\put(0,0){\line(1,0){14}}\put(0,7){\line(1,0){21}} \put(7,14){\line(1,0){14}}\put(14,21){\line(1,0){7}} \put(21,7){\line(0,1){14}}\put(14,0){\line(0,1){21}}\put(7,0){\line(0,1){14}} \put(0,0){\line(0,1){7}}} \end{picture}

2. Функция $f$ определена на множестве натуральных чисел и принимает целые неотрицательные значения, причем $f(p)=1$ для каждого простого числа $p$ и $f(ab)=af(b)+bf(a)$ для произвольных натуральных чисел $a,b.$ Найти все натуральные числа $n$, при которых $f(n)=n.$

3. Пусть $O$ - середина стороны $AB$ треугольника $\triangle ABL.$ Срединные перпендикуляры, проведенные к отрезкам $AO$ и $BL,$ пересекаются в точке $V,$ а срединные перпендикуляры, проведенные к отрезкам $AL$ и $BO,$ пересекаются в точке $E.$ Доказать, что $LO\bot VE.$

4. Для произвольных неотрицательных чисел $x, y, z$ доказать неравенство

$$3(x^3+y^3+z^3+xyz)\ge4(x^2y+y^2z+z^2x).$$

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
IV тур. 14 февраля $2\heartsuit\heartsuit6$ г.
10 класс

1. Функция $f$ определена на множестве натуральных чисел и принимает целые неотрицательные значения, причем $f(p)=1$ для каждого простого числа $p$ и $f(ab)=af(b)+bf(a)$ для произвольных натуральных чисел $a,b.$ Найти все натуральные числа $n$, при которых $f(n)=n.$

2. На продолжении стороны $BC$ треугольника $\triangle ABC$ за точку $B$ отложили отрезок $DB=AB.$ Пусть $M$ - середина отрезка $AC,$ а $P$ - точка пересечения $DM$ с биссектрисой угла $\angle ABC.$ Доказать, что $\angle BAP=\angle BCA.$

3. Для произвольных неотрицательных чисел $x, y, z$ доказать неравенство

$$3(x^3+y^3+z^3+xyz)\ge4(x^2y+y^2z+z^2x).$$

4. Найти количество прямых, которые пересекают некоторые две стороны данного правильного треугольника и вписанную в него окружность последовательно в точках $L, O, V, E,$ причем $LO=OV=VE.$

Отборы на Всеукраинскую олимпиаду юных математиков
IV тур. 14 февраля $2\heartsuit\heartsuit6$ г.
11 класс

1. На продолжении стороны $BC$ треугольника $\triangle ABC$ за точку $B$ отложили отрезок $DB=AB.$ Пусть $M$ - середина отрезка $AC,$ а $P$ - точка пересечения $DM$ с биссектрисой угла $\angle ABC.$ Доказать, что $\angle BAP=\angle BCA.$

2. Пусть $a_1, a_2, \ldots, a_{2006}$ -- некоторые целые числа из интервала $[-1003,1003],$ причем $a_1+a_2+\ldots+a_{2006}=1.$ Всегда ли можно выбрать одно или несколько из этих чисел так, чтобы их сумма равнялась нулю?

3. Найти количество прямых, которые пересекают некоторые две стороны данного правильного треугольника и вписанный у него круг последовательно в точках $L, O, V, E,$ причем $LO=OV=VE.$

4. Для произвольных неотрицательных чисел $a, b, c$ доказать неравенство

$$ab+bc+ac+\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\ge \frac{4}{3}(a\sqrt[3]{b^2c}+b\sqrt[3]{c^2a}+c\sqrt[3]{a^2b}).$$

[dm]

cepesh писал(а):

Порешать предлагаешь?

Может, кому-то условия покажутся интересными...

[Ktina]

dm в сообщении #11396 писал(а):

Двое игроков поочередно называют натуральные числа, меньшие $10^{4}$, так, чтобы сумма цифр каждого числа, начиная со второго, была делителем предыдущего числа. Проигрывает тот, кто вынужден повторить уже названное число. Имеет ли кто-то из игроков выигрышную стратегию? Если имеет, то кто?

(Оффтоп)

Знаю, что меня убьют за некропостинг, но раз уж убьют, то последняя воля умирающей должна быть исполнена.

Я называю единичку. У Вас товно три варианта: 10, 100, 1000. Вторым ходом я всегда могу назвать 37 и у Вас остаётся два варианта из трёх. Тогда третьим я называю 73, сокращая число Ваших вариантов до одного. Ну и, наконец, я называю 41, шах и мат!

-- 15.02.2012, 10:52 --

dm в сообщении #11392 писал(а):

Натуральные числа, у которых нечетное количество делителей, покрасили в желтый цвет, а натуральные числа, у которых четное количество делителей - в синий. Существует ли бесконечная арифметическая прогрессия, которая содержит числа только одного цвета?

Отказываюсь от минуты на обсуждение, ответ готов.

$$ \begin{cases} a_0=2 \\ a_{n+1}=3+a_n \end{cases} $$

Вот такая химия, вся прогрессия - синяя!