Решить показательное уравнение в натуральных числах

[F111mon]

Задача:
Решить в натуральных числах уравнение $3^x+7^y=4^z$

Одно решение есть ($x=2, y=1, z=2$). Надо показать, что других нет.
Стандартный способ - переход к сравнению по модулю, при котором уравнение максимально упрощается.
Но для этого уравнения переход к $\mod 3 $ ничего не дает,
из $\mod 4 $ можно вывести только то, что $x, y$ имеют разную четность.

Наверное, надо применить какой-то факт из теории чисел, но какой?

[nnosipov]

Докажите, что $x$ должно быть четным. Далее заметьте, что $4^z=2^{2z}$. Затем представьте $7^y$ как разность квадратов.

[F111mon]

Не очень понятно, почему именно x должно быть четным.
Перейдя к сравнению по $\mod 4$, получим $(-1)^x+(-1)^y=0 (\mod 4)$
1) x - нечетное, y - четное. $y=2m$
$3^x=4^z-7^{2m}=(2^z-7^m)(2^z+7^m)$
Понятно, что $2^z-7^m=1$

2) x - четное, y - нечетное. $x=2m$
$7^y=4^z-3^{2m}=(2^z-3^m)(2^z+3^m)$
Понятно, что $2^z-3^m=1$

По-моему, 2-й вариант существенно не отличается от 1-го (и как дальше решать эти уравнения?)

[dgwuqtj]

Попробуйте посмотреть по модулю $8$...

[F111mon]

dgwuqtj в сообщении #1669537 писал(а):

Попробуйте посмотреть по модулю $8$...

Да, 2е уравнение надо смотреть по модулю 8, а 1е по модулю 16...

Спасибо обоим ответившим

[nnosipov]

F111mon в сообщении #1669533 писал(а):

Не очень понятно, почему именно x должно быть четным.

При $z \geqslant 2$ имеем $3^x+7^y \equiv 0 \pmod{8}$, что при нечетном $x$ невозможно.