Тригонометрические суммы

[maravan]

При анализе частичных тригонометрических сумм с помощью масштабирования наткнулся на выражения для интегрального синуса и косинуса.
В первом приближении не нашел таких выражений в литературе, может кто-нибудь сталкивался с ними ранее?

Также интересует, возможно ли построить аналитическое продолжение, которое будет иметь примерно такой же вид, для случая $ \operatorname{Im}(z) \neq 0 $.

$ \operatorname{Im}(z)=0 \text{Si}(z)=\lim\limits_{N\to \infty} \left( \sum _{n=1}^N \frac{\cos \left(\frac{N z}{n}\right)}{N z}-\frac{\cos (z)}{z}+\frac{\pi}{2} \tanh (N z) \right) \text{Ci}(z)=\lim\limits_{N\to \infty} \left( \frac{\sin (z)}{z}-\sum _{n=1}^N \frac{\sin \left(\frac{N z}{n}\right)}{N z}-\frac{i \pi}{2} \left( \tanh (N z)-1 \right) \right) $